東大数理院試過去問解答例(2013B01)

この$g$の固有値は$1$のみであるから、$g$は単位行列であるか、行列
$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$
に共役なもののいずれかである。よって後者の個数を考えれば良い。いま$(1,1)$成分と$(2,2)$成分が等しい上三角行列からなる$G={\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_p)$の部分群$H$をとる。ここで左剰余類集合からの写像
$$\begin{array}{rl}f:G/H& \to \{A\in G|\mathrm{\exists }R\in G\text{ s.t. }A=R\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)R^{-1}\}\\ P& \mapsto P\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)P^{-1}\end{array}$$
を考える。これは左剰余類の代表元の取り方に依らないwell-definedな写像であり、定義から全射である。また$P,Q\in G$について同値関係
$$\begin{array}{rl}f(P)=f(Q)& \iff (P^{-1}Q)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)(P^{-1}Q)\\ & \iff P^{-1}Q\in H\\ & \iff PH=QH\end{array}$$
が成り立っているから、これによって$f$は全単射写像である。ここで$|G|=p(p-1{)}^2(p+1)$及び$|H|=(p-1)p$であるから、$|G/H|=p^2-1$である。よって$g^p=1$なる元の個数はこれらに単位元の分を足した$p^2$個である。