曲線・曲面論3～種々の定義を線形代数で見直す～
やっと本題書ける！まあ前座なんだけど．えだまめです．最近リハビリの行き返りが一人でできるようになりました．やったーーー！！！タイヤに空気入れてたので車いすの足漕ぎが凄いやりやすくなったんですよね．あとアニメ見ながら記事を書いてるんですけど，転スラもう三期になりました．倒れる前もこんな風に何か見ながら論文書いてたなぁ…
さて今回は前回定義した主曲率をハンディーな定義をしてみましょう．行列計算だけで線形代数を名乗るのは嫌ですが，まあ固有値入れば線形代数を名乗っていいでしょう．固有分解とかあるし．今日は触れないけど．
線形代数からの見直し
最初に紹介するのはワインガルテンの公式である．法方向を偏微分したとき，$\{p_x,p_y,\bm{\nu}\}$のフレームで表したときの係数の関係式だ．
またあのトリックを使おう．
$\langle \bm{\nu},\bm{\nu}\rangle = 1\ \leadsto \ \langle \bm{\nu}_x,\bm{\nu}\rangle = 0,\langle \bm{\nu}_y,\bm{\nu}\rangle = 0$
より，法方向と直交することが分かる．よって$\bm{\nu}_x=a_1p_x+b_1p_y$，$\bm{\nu}_y=a_2p_x+b_2p_y$と置ける．また$\langle p_x,\bm{\nu}\rangle = \langle p_y,\bm{\nu}\rangle = 0$をそれぞれ偏微分すると，
$$\langle p_{xx},\bm{\nu}\rangle + \langle p_x,\bm{\nu}_x \rangle = 0,\ \ \langle p_{xy},\bm{\nu}\rangle + \langle p_x,\bm{\nu}_y \rangle = 0$$
$$\langle p_{xy},\bm{\nu}\rangle + \langle p_y,\bm{\nu}_x \rangle = 0,\ \ \langle p_{yy},\bm{\nu}\rangle + \langle p_y,\bm{\nu}_y \rangle = 0$$
となり，先ほどの具体表示を代入すると
$$0 = \langle p_{xx},\bm{\nu}\rangle + \langle p_x, a_1p_x+b_1p_y \rangle = L + Ea_1 + Fb_1$$
$$0 = \langle p_{xy},\bm{\nu}\rangle + \langle p_x, a_2p_x+b_2p_y \rangle = M + Ea_2 + Fb_2$$
$$0 = \langle p_{xy},\bm{\nu}\rangle + \langle p_y, a_1p_x+b_1p_y \rangle = M + Fa_1 + Gb_1$$
$$0 = \langle p_{yy},\bm{\nu}\rangle + \langle p_y, a_2p_x+b_2p_y \rangle = N + Fa_2 + Gb_2$$
これを行列に直すと，
$$\begin{array}{cccl}
&\DVec{0}{0}
&=&
\left(
\begin{array}{cc}
L + Ea_1 + Fb_1 & M + Ea_2 + Fb_2 \\
M + Fa_1 + Gb_1 & N + Fa_2 + Gb_2
\end{array}\right)\\
\leadsto & \DVec{0}{0} &=&
\left(
\begin{array}{cc}
L & M \\
M & N
\end{array}\right)
+
\left(
\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G
\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{cc}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{array}\right)\\
\leadsto & \left(
\begin{array}{cc}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{array}\right)
&=& -\left(
\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G
\end{array}\right)^{-1}
\left(
\begin{array}{cc}
L & M \\
M & N
\end{array}\right)
\end{array}$$
これに$(p_x,p_y)$の縦ベクトルを両辺に掛ければ，
$$\left(
\begin{array}{cc}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{array}\right)
\DVec{p_x}{p_y}
= -\left(
\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G
\end{array}\right)^{-1}
\left(
\begin{array}{cc}
L & M \\
M & N
\end{array}\right)\DVec{p_x}{p_y}$$
$$\leadsto
\DVec{\bm{\nu}_x}{\bm{\nu}_y}
= -\left(
\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G
\end{array}\right)^{-1}
\left(
\begin{array}{cc}
L & M \\
M & N
\end{array}\right)\DVec{p_x}{p_y}$$
これをワインガルテンの公式という．
$$ \DVec{\bm{\nu}_x}{\bm{\nu}_y} = -\left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array}\right)^{-1} \left( \begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array}\right)\DVec{p_x}{p_y}$$
このように法方向の偏微分が曲面の偏微分だけで表せる．また，係数の行列に名前がついている．
$$\left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array}\right)^{-1} \left( \begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array}\right)$$をワンガルテン行列$W$という．また第一基本量と第二基本量で書けているから$I^{-1}II$と表すことがある．
これの$\det$を計算すると，
$$\det{W} = \det II / \det I =\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$$
となる．これは前回紹介したガウス曲率と一致するのがお分かりだろうか．平均曲率は出てくるだろうか？トレースを計算してみよう．
$$\begin{array}{rcl}
\tr W &=& \tr \left(
\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G
\end{array}\right)^{-1}
\left(
\begin{array}{cc}
L & M \\
M & N
\end{array}\right)\\
&=& \tr \frac{1}{EG-F^2}\left(
\begin{array}{cc}
G & -F \\
-F & E
\end{array}\right)\left(
\begin{array}{cc}
L & M \\
M & N
\end{array}\right)\\
&=& \tr \frac{1}{EG-F^2}\left(
\begin{array}{cc}
GL-FM & GM-FN \\
-FL+EM & -FM+EN
\end{array}\right)\\
&=& \frac{GL-2FM+EN}{EG-F^2}
\end{array}$$
これは平均曲率の2倍に一致しているのが分かるだろうか．まとめておこう．
$$K=\det W,\ \ 2H=\tr W$$
さて準備が整ったのでワインガルテン行列$W$の固有値を求めよう．固有方程式を求めてみよう．有名な公式として$t$を固有値とすると，
$$t^2 - \tr W t + \det W = 0$$
$$\leadsto t^2 + 2H t + K = 0$$
その曲面の主曲率$\lambda_1, \lambda_2$と置くと，ガウス曲率$K=\lambda_1\lambda_2$と平均曲率$(\lambda_1+\lambda_2)/2$となることを思い出すと，解と係数の関係より固有方程式の解が主曲率$\lambda_1, \lambda_2$と一致することが分かる．まとめよう．
ワインガルテン行列$W=I^{-1}II$の固有値は主曲率に一致する．
これは意外とすごい定理に思えないだろうか?あの定義するのに多大な努力が，ラグランジュの未定乗数法まで取り出した奴が固有値です！だけで済んでしまうのだこちらを定義に採用してるものもあるみたいだ．リーマン幾何の集中講義の最初のノートに載っていた．予定があってブッチしたのだ．
この主張のお気持ちを考えよう．曲面の曲がり方とは，その法ベクトルの曲がり方と考えられる．ワインガルテン行列とはその法ベクトルの偏微分がどうなるかの式なのだから，その行列の情報を持つ固有値が出てくるのは納得できるものであろう．
ということでまとめたかったことの前座はこれで終わりだ．どうしてもワインガルテン行列の固有値が主曲率ということを使った記事を書きたかったのだ．
どうしてこのことに気づいていたかはわからない．研究してるときに膨大な計算をしてこのこと気づいたようである．研究ノートを見てみてもそのことが明示的に書いているのを発見できなかったから，多分捨てられた計算用紙の中にあるのだと考えられる．まあ調べてみたら未知ということもないみたいなので載せても問題はないだろう．
最後に有名な公式として紹介した固有多項式の求め方を証明して終えよう．そのためにあたらめて主張をまとめる．
$2\times 2$行列$A$をとる．このとき固有多項式は次のように求められる．$t^2 - \tr A t + \det A$
行列として$\left(\begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right)$を取り，さらに多項式$a(t^2+s_1t+s_2)$を固有多項式として各係数を求めていく．
固有多項式$\varphi_{(a_{ij})}(t)=|A-tI|$として微分していく．
$$\begin{array}{rcl}
\varphi_{(a_{ij})}'(t) &=& \left|
\begin{array}{cc}
a_{11}-t & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}-t
\end{array}\right|' \\
&=& \left|
\begin{array}{cc}
-1 & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}-t
\end{array}\right|
+
\left|
\begin{array}{cc}
a_{11}-t & a_{12}\\
a_{21} & -1
\end{array}\right|\\
&=& -(a_{2,2}-t) - (a_{1,1}-t)
\end{array}
$$
$$\begin{array}{rcl}
\varphi_{(a_{ij})}''(t) &=& 2
\end{array}$$
また最初に置いた多項式を微分していくと，
$(a(t^2+s_1t+s_2))'=a(2t+s_1)$
$(a(t^2+s_1t+s_2))''=2a$
$t=0$を$\varphi_{(a_{ij})}(t)$，$\varphi_{(a_{ij})}'(t)$，$\varphi_{(a_{ij})}''(t)$に代入すると，
$$as_2=\det A, \ \ as_1=-a_{2,2} - a_{1,1},\ \ 2a=2$$
これを解けば$a=1,s_1=-\tr A, s_2=\det A$となり，最初の多項式に代入すれば主張を得る．
$$\varphi_{(a_{ij})}(t) =1(t^2-\tr A t + \det A) $$
なぜ，こんな七面倒な微分を利用した証明をしたか．なんか一般化できそうじゃないか？実は小行列式という概念を使えば一般化が可能になる．
$n\times n$行列$(a_{ij})$を考える．この固有多項式$\varphi_{(a_{ij})}(t)$を
$$\varphi_{(a_{ij})}(t) = (-1)^n(t^n+s_1t^{n-1}+\cdots + s_{n-1}t +s_n)$$
とすると，係数$s_k$は
$$s_k = (-1)^k\sum_{1\leq j_1<\cdots< j_k\leq n}\left|\begin{array}{cccc}
a_{j_1,j_1} & a_{j_1,j_2} & \cdots & a_{j_1,j_k}\\
a_{j_2,j_1} & a_{j_2,j_2} & \cdots & a_{j_2,j_k}\\
\vdots & \vdots & \ddots&\vdots\\
a_{j_k,j_1} & a_{j_k,j_2} & \cdots & a_{j_k,j_k}\\
\end{array}\right|$$
$n=2$のときは
$$\begin{array}{crcl}
\cdot & s_2 &=& (-1)^2\sum_{1\leq j_1< j_2<\leq 2}\left|\begin{array}{cccc}
a_{j_1,j_1} & a_{j_1,j_2} \\
a_{j_2,j_1} & a_{j_2,j_2}
\end{array}\right|\\
&&=& \left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
\end{array} $$
$$\begin{array}{crcl}
\cdot & s_1 &=& (-1)^1\sum_{1\leq j_1\leq 2}\left|\begin{array}{cccc}
a_{j_1,j_1}
\end{array}\right|\\
&&=& a_{11}+a_{22}
\end{array} $$
を得る．
固有多項式$\varphi_{(a_{ij})}(t)=|(a_{ij})-tI|$が$n$次の多項式になるから，
$$a(t^n+s_1t^{n-1}+\cdots + s_{n-1}t +s_n)$$
と置き，各係数を求めていく．気分はテーラー展開だ．
固有多項式を$t$で微分すると
$$\begin{array}{rcl}
\varphi_{(a_{ij})}'(t) &=& \left|\begin{array}{cccc}
a_{1,1}-t & a_{1,2} & \cdots & a_{1,k}\\
a_{2,1} & a_{2,2}-t & \cdots & a_{2,k}\\
\vdots & \vdots & \ddots&\vdots\\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}-t\\
\end{array}\right|'\\
&=& \left|\begin{array}{cccc}
-1 & a_{1,2} & \cdots & a_{1,k}\\
a_{2,1} & a_{2,2}-t & \cdots & a_{2,k}\\
\vdots & \vdots & \ddots&\vdots\\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}-t\\
\end{array}\right|
+
\left|\begin{array}{cccc}
a_{1,1}-t & a_{1,2} & \cdots & a_{1,k}\\
a_{2,1} & -1 & \cdots & a_{2,k}\\
\vdots & \vdots & \ddots&\vdots\\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}-t\\
\end{array}\right|
+\cdots+
\left|\begin{array}{cccc}
a_{1,1}-t & a_{1,2} & \cdots & a_{1,k}\\
a_{2,1} & a_{2,2}-t & \cdots & a_{2,k}\\
\vdots & \vdots & \ddots&\vdots\\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & -1\\
\end{array}\right|\\
&=&
-\left|\begin{array}{cccc}
a_{2,2}-t & \cdots & a_{2,k}\\
\vdots & \ddots&\vdots\\
a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}-t\\
\end{array}\right|
-
\left|\begin{array}{cccc}
a_{1,1}-t & \cdots & a_{1,k}\\
\vdots & \ddots&\vdots\\
a_{n,1} & \cdots & a_{n,n}-t\\
\end{array}\right|
-\cdots-
\left|\begin{array}{cccc}
a_{1,1}-t & a_{1,2} & \cdots \\
a_{2,1} & a_{2,2}-t & \cdots \\
\vdots & \vdots & \ddots&\\
\end{array}\right|\\
\end{array}$$
を得る．$n-k$回微分を繰り返して得られる式
$$\varphi_{(a_{ij})}^{(n-k)}(t) = (n-k)!(-1)^{n-k}\sum_{1\leq i_1<\cdots < i_k\leq n}\left|\begin{array}{cccc}
a_{i_1,i_1}-t & \cdots & a_{i_1,i_k}\\
\vdots & \ddots&\vdots\\
a_{i_k,i_1} & \cdots & a_{i_k,i_k}-t\\
\end{array}\right|$$
また最初に置いた多項式の$n-k$回微分をすると，
$$a(n-k)!s_{n-k}+\cdots$$
となり$t=0$を入れれば係数が一個だけ出てきて主張を得る．
最後のは全く関係ないがとりあえず話したかったことの準備はできた．次のページでその話をまとめたいと思う．
参考
福井敏純，”曲線と曲面の基礎，基本”
福井敏純，”線形代数学講義ノート” (pdfだ)
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