反復ベータ積分の応用：楕円積分のモーメントを計算する

今回は反復ベータ積分を利用して楕円積分のモーメントを計算し、最後に系として二項係数が3乗入った級数の値を計算してみます。例によって$\displaystyle \beta_n\coloneqq \frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}=\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}$とします。
以下の公式は基本的です。

以上の公式を用いて、まずは補題として次のモーメントを計算します。

楕円積分$K(x)$は次の級数表示を持ちます:
$$ K(x)=\frac\pi2\sum_{0\leq m}\beta_m^2x^{2m} $$
したがって、その整数モーメントの級数表示は次のようになるはずです。
$$ \int_0^1K(x)x^{2n-1}dx=\frac\pi2 \sum_{0\leq m}\frac{\beta_m^2}{2n+2m} $$
この級数はよく観察すると、項別積分によって次のような反復積分による表示を持つことがわかります。
$$ \frac\pi2 \sum_{0\leq m}\frac{\beta_m^2}{2n+2m}=\int_{0< x< t<1}\frac{x^{2n-1}}{\sqrt{1-x^2}}dx\frac{1}{t^{2n}\sqrt{1-t^2}}dt $$
これを反復ベータ積分によって前から計算してみると、
\begin{align} \int_{0< x< t<1}\frac{x^{2n-1}}{\sqrt{1-x^2}}dx\frac{1}{t^{2n}\sqrt{1-t^2}}dt&=\frac{1}{2n\beta_n}\sum_{0\leq m}\beta_{n+m}\int_0^1t^{2n+2m}\sqrt{1-t^2}\cdot \frac{1}{t^{2n}\sqrt{1-t^2}} dt\\ &=\frac{1}{2n\beta_n}\sum_{0\leq m}\frac{\beta_{n+m}}{2m+1}\\ &=\frac{1}{2n\beta_n}\cdot \frac2\pi\int_0^1\frac{\arctanh(x)}{\sqrt{1-x^2}}x^{2n-1}dx\\ \ &=\frac{1}{(2n)^2\beta_n^2}\sum_{m=0}^{n-1}\beta_m^2 \end{align}
というように$\frac{\arctanh(x)}{\sqrt{1-x^2}}$のモーメントに帰着できることがわかります。同様にして$n\rightarrow n+\frac12$として半整数モーメントも計算することができ、まとめると次のようになります。

これを用いてよく知られた積分$$ \int_0^1\frac{K(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{\pi^2}{4}\sum_{0\leq n}\beta_n^3=\frac{\pi^2}{4}\frac{\pi}{\Gamma\left(\frac34\right)^4}$$にもう一つの級数表示を与えることができます。積分を$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$のモーメントではなく$K(x)$のモーメントを用いて展開してみると、
$$ \int_0^1\frac{K(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sum_{0\leq n}\beta_n\int_0^1x^{2n}K(x)dx=\sum_{0\leq n}\beta_n^3\left(2\beta(2)+\sum_{m=1}^n\frac{1}{(2m)^2\beta_m^2}\right) $$となり、
$$ \sum_{0\leq n}\beta_n^3\left(2\beta(2)+\sum_{m=1}^n\frac{1}{(2m)^2\beta_m^2}\right)=\frac{\pi^2}{4}\frac{\pi}{\Gamma\left(\frac34\right)^4} $$
が得られます。