ここでは阪大数学科の修士課程の院試の2023B1の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
位数$n$の有限群$G$及び群同型$\sigma:G\to G$を考え、部分集合$I,J\subseteq G$を
$$
I:=\{g\in G|\sigma(g)=g\}
$$
$$
J:=\{g\in G|\sigma(g)=g^{-1}\}
$$
で定める。ここで$G$は$|I|=1$かつ$|J|>\frac{n}{2}$を満たしているとする。このとき以下の問いに答えなさい。
(1) $\sigma^2=\mathrm{id}_G$を示せ。
(2) $G=\{g^{-1}\sigma(g)|g\in G\}$を示せ。
(3) $G$はアーベル群であることを示せ。