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阪大数学科院試過去問解答例(2023B1)

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ここでは阪大数学科の修士課程の院試の2023B1の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2023B1

位数nの有限群G及び群同型σ:GGを考え、部分集合I,JG
I:={gG|σ(g)=g}
J:={gG|σ(g)=g1}
で定める。ここでG|I|=1かつ|J|>n2を満たしているとする。このとき以下の問いに答えなさい。
(1) σ2=idGを示せ。
(2) G={g1σ(g)|gG}を示せ。
(3) Gはアーベル群であることを示せ。

  1. gJをとる。このときσ(g1)=σ(g)1=gであるから、σJを保存する。ここで定義からσ2|J=idJである。ここでJによって生成されるGの部分群をHとすると、σ2|H=idHである。ここで|J|>n2より[G:H]<2であるからH=Gである。よってσ2=idGである。
  2. 写像
    F:GGgg1σ(g)
    を考える。ここでh,gGについてF(g)=F(h)であったとすると、これはhg1=σ(hg1)を意味するが、|I|=1の条件からh=gが従う。よってFは単射であるが、G
    有限集合であるからFは全射になる。特にG={g1σ(g)|gG}が従う。
  3. hGを任意にとったとき、(2)からあるgGを用いてh=g1σ(g)と表せる。このとき
    σ(h)=σ(g1σ(g))=σ(g)1g=(g1σ(g))1=h1
    であることからJ=Gが従う。よって任意のa,bGについて
    ab=σ2(ab)=σ((ab)1)=σ(b1a1)=σ(b1)σ(a1)=ba
    であることがわかるから、Gはアーベル群である。
投稿日:20231010
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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