A3'数列(作成中)

$A3'$数列は、自然数によって添字付けられた自然数の列から、自然数を計算するプロセスである。
入力$(S,n)$に対する出力$A3'(S,n)$を、以下のように再帰的に定める。

1. もし$S$が空列ならば$n$を出力し、プロセスを終了する。
2. $S = (a_1,\cdots,a_X)$とする。ただし$a_1 = 0$である。
3. もし$a_X = 0$ならば出力は以下である。
   $A3'(S,n) = A3'((a_1,\cdots,a_{X-1}),n+1)$
4. そうでないならば以下の手順で出力を決定する。
   1. もし$a_{X-1} < a_X$ならば出力は以下である。
      $A3'(S,n) = A3'((a_1,\cdots,a_{X-1},(a_X-1)^{\times n}),n+1)$
   2. そうでないならば以下の手順で$G,B \in \mathbb{N}^{< \omega}$を決定する
      1. $fp = \max\set{k \mid a_k < a_X}$とする。
      2. $sp = \max (\set{k \mid k \leq fp \land (a_i)_{i=k}^X \ll (a_i)_{i=fp}^X}\cup\set{0}) $として
         4. $sbp =(a_i)_{i=sp+1}^{X-1} \frown (a_X-1) $ ,
            $fbp =(a_i)_{i=fp+1}^{X-1} \frown (a_X-1) $ として
            1. $sbp \ll fbp$ならば
               $G = (a_i)_{i=1}^{fp}$
               $B = fbp$ として
            2. そうでないならば
               $G = (a_i)_{i=1}^{sp}$
               $B = sbp$ とする

　　3．出力は以下である
　　　 $A3(S,n) = A3(G \frown \underbrace{B \frown \cdots \frown B}_{Bがn個},n+1)$

$A3$数列を用いて$F(n) = A3((0,n),n)$としたとき、
$F^{7}(2)$を$A3$数列数とする。
ただし、$F^{7}(n)$ は$F$に対する反復合成であるとし、
$F^{7}(n) = \underbrace{F(F(\cdots}_{Fが7個}(n)...)$とする。