A3'数列

$A3'$数列は、自然数によって添字付けられた自然数の列から、自然数を計算するプロセスである。
入力$(S,n)$に対する出力$A3'(S,n)$を、以下のように再帰的に定める。

1. もし$S$が空列ならば$n$を出力し、プロセスを終了する。
2. $S = (a_1,\cdots,a_X)$とする。ただし$a_1 = 0$である。
3. もし$a_X = 0$ならば出力は以下である。
   $A3'(S,n) = A3'((a_1,\cdots,a_{X-1}),n+1)$
4. そうでないならば以下の手順で出力を決定する。
   1. もし$a_{X-1} < a_X$ならば出力は以下である。
      $A3'(S,n) = A3'((a_1,\cdots,a_{X-1},(a_X-1)^{\times n}),n+1)$
   2. そうでないならば以下の手順で$G,B \in \mathbb{N}^{< \omega}$を決定する
      1. $fp = \max\set{k \mid a_k < a_X}$とする。
      2. $sp = \max (\set{k \mid k \leq fp \land (a_i)_{i=k}^X \ll (a_i)_{i=fp}^X}\cup\set{0}) $として
         1. $sp = 0$ならば
            $G = ()$
            $B = (a_i)_{i=2}^{X-1} \frown (a_X -1)$として
         2. そうでないならば
            $G = (a_i)_{i=1}^{sp}$
            $B = (a_i)_{sp+1}^{X-1} \frown (a_X - 1)$ とする

　　3．出力は以下である
　　　 $A3(S,n) = A3(G \frown \underbrace{B \frown \cdots \frown B}_{Bがn個},n+1)$

以下まとめたものです。
\begin{align*}   \text{巨大数} &: K = A3'^{7}(2) \\   \text{巨大関数} &: A3'(n) = \operatorname{expand}((0,n),n) \\   \text{出力} &: \operatorname{expand}((),n) = n \\   \text{展開} &:   \operatorname{expand}(S,n) =     \begin{cases}   \operatorname{expand}((a_1,\cdots,a_{X-1}),n)  &(a_X = 0)\\   \operatorname{expand}((a_1,\cdots,a_{X-1},(a_X - 1)^{\times n}),f(n)) &(a_X \neq 0 \land a_{X-1} < a_x)\\   \operatorname{expand}((G \frown \underbrace{B \frown \cdots \frown B}_{n\ \text{times}}),f(n)) &(otherwise)\\   \end{cases} \\   \text{活性化関数} &: f(n) =  \\   \text{入力} &: S = (a_1,\cdots,a_X) (a_1 = 0) \\   \text{良い部分} &: G = (a_1,\cdots,a_r) \\   \text{悪い部分} &: B = (a_{r+1},\cdots,a_X) \\   \text{親} &: r =   \begin{cases}     2 &(sp = 0) \\     sp &(sp \neq 0) \\   \end{cases} \\   \text{仮親} &: fp = max(\{k \mid a_k < a_X\}) \\   \text{準親} &: sp = \max (\set{k \mid k \leq fp \land (a_i)_{i=k}^X  \ll  (a_i)_{i=fp}^X}\cup\set{0}) \\ \end{align*}

$A3$数列を用いて$F(n) = A3((0,n),n)$としたとき、
$F^{7}(2)$を$A3$数列数とする。
ただし、$F^{7}(n)$ は$F$に対する反復合成であるとし、
$F^{7}(n) = \underbrace{F(F(\cdots}_{Fが7個}(n)...)$とする。