0-balanced 3F2の有限モーメント
前の記事 の命題2は以下のように表される.
$b_r:=1$とする.
\begin{align}
\mu_N(w)&:=\sum_{n=0}^N\frac{(a_1,\dots,a_r)_n}{(b_1,\dots,b_r)_n}\frac{t^n}{n+w}
\end{align}
とすると
\begin{align}
&\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_N}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_N}t^N\mu_N(w+N)\\
&=\sum_{n=0}^{N}\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_{n}}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n}}t^{n}\left(\frac{c_{n-1}}{w+2n-1}+\frac{c_{n}}{w+2n}\right)\\
&\qquad-(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_{n}}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n+1}}t^np_n(w+n)
\end{align}
と
\begin{align}
\mu_N(w-N)&=\frac{(a_1-w,\dots,a_r-w)_N}{(b_1-w,\dots,b_r-w)_N}t^N\sum_{n=0}^N\frac{(b_1-w,\dots,b_r-w)_{n-1}}{(a_1-w,\dots,a_r-w)_nt^n}p_n(w-n)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
p_N(w)&=\sum_{n=0}^N\frac{((b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)-(b_1+n-1)\cdots(b_r+n-1))c_n}{n+w}\\
&\qquad-\sum_{n=0}^N\frac{((a_1-w-1)\cdots(a_r-w-1)-(a_1+n-1)\cdots(a_r+n-1))tc_{n-1}}{n+w}
\end{align}
である.
今回は${}_3F_2$の有限モーメント
\begin{align}
\mu_N(w)&=\sum_{n=0}^N\frac{(a,b,c)_n}{n!(d,e)_n}\frac 1{n+w}
\end{align}
について考える.
前の記事
と全く同様の計算によって,
\begin{align}
p_N(w)&=\sum_{n=0}^N(-(w^2-wn+n^2)+(d+e-2)(w-n)-(d-1)(e-1))c_n\\
&\qquad-\sum_{n=0}^{N-1}(-(w^2-w(n+1)+(n+1)^2)+(a+b+c-3)(w-n-1)-((a-1)(b-1)+(a-1)(c-1)+(b-1)(c-1)))c_n\\
&=(1+a+b+c-d-e)\sum_{n=0}^{N-1}nc_n\\
&\qquad+(ab+ac+bc-de+(d+e-a-b-c)(w+1))\sum_{n=0}^{N-1}c_n\\
&\qquad+(-(w^2-wN+N^2)+(d+e-2)(w-N)-(d-1)(e-1))c_N\\
&=(1+a+b+c-d-e)\sum_{n=0}^{N-1}nc_n\\
&\qquad+(ab+ac+bc-de+(d+e-a-b-c)(w+1))\sum_{n=0}^{N-1}c_n\\
&\qquad-\frac{w(w+1-d)(w+1-e)+N(N+d-1)(N+e-1)}{w+N}c_N
\end{align}
となる. 特に, $a+b+c=d+e$の場合,
\begin{align}
p_N(w)&=\sum_{n=0}^{N-1}(n+ab+ac+bc-de)c_n\\
&\qquad-\frac{w(w+1-d)(w+1-e)+N(N+d-1)(N+e-1)}{w+N}c_N
\end{align}
とシンプルに表される.
\begin{align}
\mu_N(w-N)&=\frac{(a-w,b-w,c-w)_N}{(1-w,d-w,e-w)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(1-w,d-w,e-w)_{n-1}}{(a-w,b-w,c-w)_n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(k+ab+ac+bc-de)(a,b,c)_k}{k!(d,e)_k}\\
&\qquad-\frac{(a-w,b-w,c-w)_N}{(1-w,d-w,e-w)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(1-w,d-w,e-w)_{n-1}}{(a-w,b-w,c-w)_n}\frac{(w-n)(w-n+1-d)(w-n+1-e)+n(n+d-1)(n+e-1)}{w}\frac{(a,b,c)_n}{n!(d,e)_n}\\
&=\frac{(a-w,b-w,c-w)_N}{(1-w,d-w,e-w)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(1-w,d-w,e-w)_{n-1}}{(a-w,b-w,c-w)_n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(k+ab+ac+bc-de)(a,b,c)_k}{k!(d,e)_k}\\
&\qquad+\frac{(a-w,b-w,c-w)_N}{w(1-w,d-w,e-w)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(1-w,d-w,e-w)_{n}}{(a-w,b-w,c-w)_n}\frac{(a,b,c)_n}{n!(d,e)_n}\\
&\qquad-\frac{(a-w,b-w,c-w)_N}{w(1-w,d-w,e-w)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(1-w,d-w,e-w)_{n-1}}{(a-w,b-w,c-w)_n}\frac{(a,b,c)_n}{(n-1)!(d,e)_{n-1}}
\end{align}
よって以下を得る.
$a+b+c=d+e$のとき,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^N\frac{(a,b,c)_n}{n!(d,e)_n}\frac 1{n+w-N}\\
&=\frac{(a-w,b-w,c-w)_N}{(1-w,d-w,e-w)_N}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-w,d-w,e-w)_{n}}{(a-w,b-w,c-w)_{n+1}}\sum_{k=0}^{n}\frac{(k+ab+ac+bc-de)(a,b,c)_k}{k!(d,e)_k}\\
&\qquad+\frac{(a-w,b-w,c-w)_N}{w(1-w,d-w,e-w)_N}\left(\sum_{n=0}^N\frac{(1-w,d-w,e-w)_{n}}{(a-w,b-w,c-w)_n}\frac{(a,b,c)_n}{n!(d,e)_n}-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-w,d-w,e-w)_{n}}{(a-w,b-w,c-w)_{n+1}}\frac{(a,b,c)_{n+1}}{n!(d,e)_{n}}\right)
\end{align}
が成り立つ.
定理2において, $w\to 0$を考えると,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,b,c)_n}{n!(d,e)_n}\frac 1{n-N}\\
&=\frac{(a,b,c)_N}{N!(d,e)_N}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{n!(d,e)}{(a,b,c)_{n+1}}\sum_{k=0}^{n}\frac{(k+ab+ac+bc-de)(a,b,c)_k}{k!(d,e)_k}\\
&\qquad+\frac{(a,b,c)_N}{N!(d,e)_N}\lim_{w\to 0}\frac 1w\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac{(1-w,d-w,e-w)_{n}}{(a-w,b-w,c-w)_n}\frac{(a,b,c)_n}{n!(d,e)_n}-\frac{(1-w,d-w,e-w)_{n}}{(a-w,b-w,c-w)_{n+1}}\frac{(a,b,c)_{n+1}}{n!(d,e)_{n}}\right)\\
&=\frac{(a,b,c)_N}{N!(d,e)_N}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{n!(d,e)}{(a,b,c)_{n+1}}\sum_{k=0}^{n}\frac{(k+ab+ac+bc-de)(a,b,c)_k}{k!(d,e)_k}\\
&\qquad-\frac{(a,b,c)_N}{N!(d,e)_N}\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac 1{n+a}+\frac 1{n+b}+\frac 1{n+c}\right)
\end{align}
つまり, 以下を得る.
$a+b+c=d+e$のとき
\begin{align}
\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,b,c)_n}{n!(d,e)_n}\frac 1{n-N}&=\frac{(a,b,c)_N}{N!(d,e)_N}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{n!(d,e)}{(a,b,c)_{n+1}}\sum_{k=0}^{n}\frac{(k+ab+ac+bc-de)(a,b,c)_k}{k!(d,e)_k}\\
&\qquad-\frac{(a,b,c)_N}{N!(d,e)_N}\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac 1{n+a}+\frac 1{n+b}+\frac 1{n+c}\right)
\end{align}
が成り立つ.
