3F2のモーメント
前の記事 の命題2は以下のようなものである.
$b_r:=1$
\begin{align}
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(a_1,\dots,a_r)_n}{(b_1,\dots,b_r)_n}\frac{t^n}{n+w}
\end{align}
とする. $w$に関する多項式$p(w)$を
\begin{align}
p(w)&=\sum_{0\leq n}\frac{((b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)-(b_1+n-1)\cdots(b_r+n-1))c_n}{n+w}\\
&\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{((a_1-w-1)\cdots(a_r-w-1)-(a_1+n-1)\cdots(a_r+n-1))tc_{n-1}}{n+w}
\end{align}
によって定義すると,
\begin{align}
\mu(w+N)&=\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_N}{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_N}t^{-N}\left(\mu(w)-(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_{n}}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n+1}}t^{n}p(n+w)\right)\\
\mu(w-N)&=\frac{(a_1-w,\dots,a_r-w)_N}{(b_1-w,\dots,b_r-w)_N}t^N\left(\mu(w)+\frac 1t\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(b_1-w,\dots,b_r-w)_{n}}{(a_1-w,\dots,a_r-w)_{n+1}t^n}p(w-n-1)\right)
\end{align}
が成り立つ.
前の記事ではこれを用いて${}_2F_1$のモーメントを計算したが, 今回は${}_3F_2$のモーメントを考える.
\begin{align}
c_n&:=\frac{(a,b,c)_n}{n!(d,e)_n}t^n\\
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{c_n}{n+w}
\end{align}
とする. 命題1における$p(w)$はこの場合
\begin{align}
p(w)&=\sum_{0\leq n}\frac{-w(d-w-1)(e-w-1)-n(d+n-1)(e+n-1)}{n+w}c_n\\
&\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{(a-w-1)(b-w-1)(c-w-1)-(a+n-1)(b+n-1)(c+n-1)}{n+w}tc_{n-1}\\
&=\sum_{0\leq n}(-(w^2-wn+n^2)+(d+e-2)(w-n)-(d-1)(e-1))c_n\\
&\qquad-\sum_{0\leq n}(-(w^2-wn+n^2)+(a+b+c-3)(w-n)-((a-1)(b-1)+(a-1)(c-1)+(b-1)(c-1)))tc_{n-1}
\end{align}
となる. 特に$t=1$の場合,
\begin{align}
p(w)&=\sum_{0\leq n}(-(w^2-wn+n^2)+(d+e-2)(w-n)-(d-1)(e-1))c_n\\
&\qquad-\sum_{0\leq n}(-(w^2-wn+n^2)+(a+b+c-3)(w-n)-((a-1)(b-1)+(a-1)(c-1)+(b-1)(c-1)))c_{n-1}\\
&=\sum_{0\leq n}(-(w^2-wn+n^2)+(d+e-2)(w-n)-(d-1)(e-1))c_n\\
&\qquad-\sum_{0\leq n}(-(w^2-w(n+1)+(n+1)^2)+(a+b+c-3)(w-n-1)-((a-1)(b-1)+(a-1)(c-1)+(b-1)(c-1)))c_{n}\\
&=\sum_{0\leq n}(-w+2n+1+(d+e-a-b-c+1)(w-n)-(d-1)(e-1))c_n\\
&\qquad+\sum_{0\leq n}((a+b+c-3)+(a-1)(b-1)+(a-1)(c-1)+(b-1)(c-1))c_{n}\\
&=(1+a+b+c-d-e)\sum_{0\leq n}nc_n\\
&\qquad+(ab+ac+bc-de+(d+e-a-b-c)(w+1))\sum_{0\leq n}c_{n}
\end{align}
と表される. 最後の式は,
\begin{align}
P\left(\begin{matrix}a,b,c\\d,e\end{matrix};t\right):=(1+a+b+c-d-e)t+\frac{ab+ac+bc-(d-1)(e-1)}2-\frac{a+b+c+d+e-2}6
\end{align}
と定義すると,
\begin{align}
p(w)&=\sum_{0\leq n}\left(P\left(\begin{matrix}a,b,c\\d,e\end{matrix};n\right)+P\left(\begin{matrix}1-a,1-b,1-c\\2-d,2-e\end{matrix};w\right)\right)c_n
\end{align}
と表すこともできる. つまり, 以下を得る.
\begin{align}
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b,c)_n}{n!(d,e)_n}\frac 1{n+w}
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
\mu(w+N)&=\frac{(w+1-d,w+1-e,w)_N}{(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_N}\left(\mu(w)+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_{n}}{(w+1-d,w+1-e,w)_{n+1}}p(n+w)\right)\\
\mu(w-N)&=\frac{(a-w,b-w,c-w)_N}{(d-w,e-w,1-w)_N}\left(\mu(w)+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(d-w,e-w,1-w)_{n}}{(a-w,b-w,c-w)_{n+1}}p(w-n-1)\right)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
p(w)&:=(1+a+b+c-d-e)\sum_{0\leq n}n\frac{(a,b,c)_n}{n!(d,e)_n}\\
&\qquad+(ab+ac+bc-de+(d+e-a-b-c)(w+1))\sum_{0\leq n}\frac{(a,b,c)_n}{n!(d,e)_n}\\
&=\sum_{0\leq n}\left(P\left(\begin{matrix}a,b,c\\d,e\end{matrix};n\right)+P\left(\begin{matrix}1-a,1-b,1-c\\2-d,2-e\end{matrix};w\right)\right)\frac{(a,b,c)_n}{n!(d,e)_n}\\
P\left(\begin{matrix}a,b,c\\d,e\end{matrix};t\right)&:=(1+a+b+c-d-e)t+\frac{ab+ac+bc-(d-1)(e-1)}2-\frac{a+b+c+d+e-2}6
\end{align}
である.
2つの値
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a,b,c)_n}{n!(d,e)_n}, \sum_{0\leq n}P\left(\begin{matrix}a,b,c\\d,e\end{matrix};n\right)\frac{(a,b,c)_n}{n!(d,e)_n}
\end{align}
が求まる場合については定理2をより具体的に記述することができる. よって, その場合について考察することにする.
Dixonの和公式
まず, ${}_3F_2$の和公式としてDixonの和公式
\begin{align}
\F32{a,b,c}{1+a-b,1+a-c}1&=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(1+\frac a2-b-c\right)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)\Gamma\left(1+\frac a2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)}
\end{align}
がある. この場合の$P$は
\begin{align}
P\left(\begin{matrix}a,b,c\\1+a-b,1+a-c\end{matrix};t\right)&=(2b+2c-a-1)t+\frac{a(2b+2c-a)}2-\frac a2\\
&=\frac 12(2b+2c-a-1)(2t+a)
\end{align}
である. Dougallの和公式の系より
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(2n+a)(a,b,c)_n}{n!(1+a-b,1+a-c)_n}&=\frac{\Gamma\left(\frac {1+a}2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(\frac {1+a}2-b-c\right)}{\Gamma(a)\Gamma\left(\frac {1+a}2-b\right)\Gamma\left(\frac {1+a}2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)}
\end{align}
となるから,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}P\left(\begin{matrix}a,b,c\\1+a-b,1+a-c\end{matrix};n\right)\frac{(a,b,c)_n}{n!(1+a-b,1+a-c)_n}\\
&=-\frac{\Gamma\left(\frac {1+a}2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(\frac {3+a}2-b-c\right)}{\Gamma(a)\Gamma\left(\frac {1+a}2-b\right)\Gamma\left(\frac {1+a}2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)}
\end{align}
と求められる. また,
\begin{align}
P\left(\begin{matrix}1-a,1-b,1-c\\1+b-a,1+c-a\end{matrix};t\right)&=\frac 12(2+a-2b-2c)(2t+1-a)
\end{align}
であるから, これらを用いると
\begin{align}
p(w)&=-\frac{\Gamma\left(\frac {1+a}2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(\frac {3+a}2-b-c\right)}{\Gamma(a)\Gamma\left(\frac {1+a}2-b\right)\Gamma\left(\frac {1+a}2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)}\\
&\qquad+\frac{\Gamma\left(\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(2+\frac a2-b-c\right)}{\Gamma(a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)\Gamma\left(1+\frac a2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)}\left(w+\frac{1-a}2\right)
\end{align}
よって以下を得る.
\begin{align}
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b,c)_n}{n!(1+a-b,1+a-c)_n}\frac 1{n+w}
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
&\frac{(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_N}{(w+b-a,w+c-a,w)_N}\mu(w+N)\\
&=\mu(w)+\frac{\Gamma\left(\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(2+\frac a2-b-c\right)}{\Gamma(a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)\Gamma\left(1+\frac a2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(n+w+\frac{1-a}2\right)(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_{n}}{(w+b-a,w+c-a,w)_{n+1}}\\
&\qquad-\frac{\Gamma\left(\frac {1+a}2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(\frac {3+a}2-b-c\right)}{\Gamma(a)\Gamma\left(\frac {1+a}2-b\right)\Gamma\left(\frac {1+a}2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_{n}}{(w+b-a,w+c-a,w)_{n+1}}\\
&\frac{(1+a-b-w,1+a-c-w,1-w)_N}{(a-w,b-w,c-w)_N}\mu(w-N)\\
&=\mu(w)-\frac{\Gamma\left(\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(2+\frac a2-b-c\right)}{\Gamma(a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)\Gamma\left(1+\frac a2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(n-w+\frac{1+a}2\right)(1+a-b-w,1+a-c-w,1-w)_{n}}{(a-w,b-w,c-w)_{n+1}}\\
&\qquad-\frac{\Gamma\left(\frac {1+a}2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(\frac {3+a}2-b-c\right)}{\Gamma(a)\Gamma\left(\frac {1+a}2-b\right)\Gamma\left(\frac {1+a}2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1+a-b-w,1+a-c-w,1-w)_{n}}{(a-w,b-w,c-w)_{n+1}}
\end{align}
が成り立つ.
新たに
\begin{align}
\hat{\mu}^a(w)&:=-\mu(w)-\mu(a-w)\\
\check{\mu}^a(w)&:=\mu(w)-\mu(a-w)
\end{align}
と置くと, 定理3はこれらを用いて
\begin{align}
&\frac{(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_N}{(w+b-a,w+c-a,w)_N}\hat{\mu}^a(w+N)\\
&=\hat{\mu}^a(w)+\frac{2\Gamma\left(\frac {1+a}2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(\frac {3+a}2-b-c\right)}{\Gamma(a)\Gamma\left(\frac {1+a}2-b\right)\Gamma\left(\frac {1+a}2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_{n}}{(w+b-a,w+c-a,w)_{n+1}}\\
&\frac{(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_N}{(w+b-a,w+c-a,w)_N}\check{\mu}^a(w+N)\\
&=\check{\mu}^a(w)+\frac{2\Gamma\left(\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(2+\frac a2-b-c\right)}{\Gamma(a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)\Gamma\left(1+\frac a2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(n+w+\frac{1-a}2\right)(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_{n}}{(w+b-a,w+c-a,w)_{n+1}}
\end{align}
と少し簡潔に書くことができる. $\hat{\mu}^a,\check{\mu}^a$をそれぞれ対称モーメント, 反対称モーメントということにする. これらの概念自体が興味深い性質を持っているが, それは今後まとめていくことにして, 次の和公式の考察に進もうと思う.
Watsonの和公式
${}_3F_2$の和公式としては, 他に
Watsonの和公式
が知られている. それは以下のようなものである.
\begin{align}
\F32{a,b,c}{\frac{a+b+1}2,2c}{1}&=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma\left(c+\frac{1-a-b}2\right)}{\Gamma\left(\frac{a+1}2\right)\Gamma\left(\frac{b+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-a}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-b}2\right)}
\end{align}
定理2における$P$はそのとき,
\begin{align}
P\left(\begin{matrix}a,b,c\\\frac{a+b+1}2,2c\end{matrix};t\right)&=\left(\frac{a+b+1}2-c\right)t+\frac{ab}2
\end{align}
となる. Lavoieによる1987年の結果
\begin{align}
&\F32{a,b,c}{\frac{a+b+1}2,2c-1}1\\
&=\frac{2^{a+b}\Gamma\left(\frac{a+b+1}2\right)\Gamma\left(c-\frac 12\right)\Gamma\left(c-\frac{a+b+1}2\right)}{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}\\
&\qquad\cdot\left(\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma\left(1+\frac b2\right)}{\Gamma\left(c-\frac{a+1}2\right)\Gamma\left(c-\frac{b+1}2\right)}+\frac{ab}4\frac{\Gamma\left(\frac{a+1}2\right)\Gamma\left(\frac{b+1}2\right)}{\Gamma\left(c-\frac a2\right)\Gamma\left(c-\frac b2\right)}\right)
\end{align}
とWatsonの和公式を用いて整理すると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\left(\left(\frac{a+b+1}2-c\right)n+\frac{ab}2\right)\frac{(a,b,c)_n}{\left(\frac{a+b+1}2,2c\right)_nn!}\\
&=-\frac{2\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma\left(c+\frac{1-a-b}2\right)}{\Gamma\left(\frac a2\right)\Gamma\left(\frac b2\right)\Gamma\left(c-\frac a2\right)\Gamma\left(c-\frac b2\right)}
\end{align}
と求めることができる. また,
\begin{align}
P\left(\begin{matrix}1-a,1-b,1-c\\\frac{3-a-b}2,2-2c\end{matrix};t\right)&=\left(\frac{1-a-b}2+c\right)t+\frac{(1-a)(1-b)}2
\end{align}
となる. よってこのとき, 定理2の$p(w)$は
\begin{align}
p(w)&=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma\left(c+\frac{1-a-b}2\right)}{2\Gamma\left(\frac{a+1}2\right)\Gamma\left(\frac{b+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-a}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-b}2\right)}\left(\left(2c+1-a-b\right)t+(1-a)(1-b)\right)\\
&\qquad-\frac{2\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma\left(c+\frac{1-a-b}2\right)}{\Gamma\left(\frac a2\right)\Gamma\left(\frac b2\right)\Gamma\left(c-\frac a2\right)\Gamma\left(c-\frac b2\right)}
\end{align}
よって以下を得る.
\begin{align}
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b,c)_n}{n!\left(\frac{a+b+1}2,2c\right)_n}\frac 1{n+w}
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
&\frac{(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_N}{\left(w+\frac{1-a-b}2,w+1-2c,w\right)_N}\mu(w+N)\\
&=\mu(w)+\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma\left(c+\frac{1-a-b}2\right)}{2\Gamma\left(\frac{a+1}2\right)\Gamma\left(\frac{b+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-a}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-b}2\right)}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{((2c+1-a-b)(n+w)+(1-a)(1-b))(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_{n}}{\left(w+\frac{1-a-b}2,w+1-2c,w\right)_{n+1}}\\
&\qquad-\frac{2\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma\left(c+\frac{1-a-b}2\right)}{\Gamma\left(\frac a2\right)\Gamma\left(\frac b2\right)\Gamma\left(c-\frac a2\right)\Gamma\left(c-\frac b2\right)}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_{n}}{\left(w+\frac{1-a-b}2,w+1-2c,w\right)_{n+1}}\\
&\frac{\left(\frac{a+b+1}2-w,2c-w,1-w\right)_N}{(a-w,b-w,c-w)_N}\mu(w-N)\\
&=\mu(w)-\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma\left(c+\frac{1-a-b}2\right)}{2\Gamma\left(\frac{a+1}2\right)\Gamma\left(\frac{b+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-a}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-b}2\right)}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{((2c+1-a-b)(n-w)+ab-2c)\left(\frac{a+b+1}2-w,2c-w,1-w\right)_{n}}{(a-w,b-w,c-w)_{n+1}}\\
&\qquad -\frac{2\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma\left(c+\frac{1-a-b}2\right)}{\Gamma\left(\frac a2\right)\Gamma\left(\frac b2\right)\Gamma\left(c-\frac a2\right)\Gamma\left(c-\frac b2\right)}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(\frac{a+b+1}2-w,2c-w,1-w\right)_{n}}{(a-w,b-w,c-w)_{n+1}}
\end{align}
が成り立つ.
Whippleの和公式
${}_3F_2$の和公式には, もう一つ
Whippleの和公式
がある. それは$a+b=1, e+f=1+2c$のとき次のような形で表すことができる.
\begin{align}
\F32{a,b,c}{e,f}{1}&=\frac{2^{1-2c}\pi\Gamma(e)\Gamma(f)}{\Gamma\left(\frac{a+e}2\right)\Gamma\left(\frac{a+f}2\right)\Gamma\left(\frac{b+e}2\right)\Gamma\left(\frac{b+f}2\right)}
\end{align}
このとき
\begin{align}
P\left(\begin{matrix}a,b,c\\e,f\end{matrix};t\right)&=(1-c)t+\frac{ab-(e-1)(f-1)}2
\end{align}
である. $a+b=2, e+f=2c+1$のときに成り立つLavoieによる1987年の結果
\begin{align}
\F32{a,b,c}{e,f}{1}&=\frac{2^{1-2a}\Gamma(e)\Gamma(f)}{(a-1)(c-1)\Gamma(e-a)\Gamma(f-a)}\\
&\qquad\cdot\left(\frac{\Gamma\left(\frac{e-a}2\right)\Gamma\left(\frac{f-a}2\right)}{\Gamma\left(\frac{e-b}2\right)\Gamma\left(\frac{f-b}2\right)}-\frac{\Gamma\left(\frac{e-a+1}2\right)\Gamma\left(\frac{f-a+1}2\right)}{\Gamma\left(\frac{e-b+1}2\right)\Gamma\left(\frac{f-b+1}2\right)}\right)
\end{align}
とWhippleの和公式を用いて整理すると, $a+b=1, e+f=2c+1$のとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\left((1-c)n+\frac{ab-(e-1)(f-1)}2\right)\frac{(a,b,c)_n}{(e,f)_nn!}\\
&=-\frac{2^{2-2c}\pi\Gamma(e)\Gamma(f)}{\Gamma\left(\frac{e-a}2\right)\Gamma\left(\frac{f-a}2\right)\Gamma\left(\frac{e-b}2\right)\Gamma\left(\frac{f-b}2\right)}
\end{align}
を得ることができる. このとき
\begin{align}
P\left(\begin{matrix}1-a,1-b,1-c\\2-e,2-f\end{matrix};t\right)&=ct+\frac{(1-a)(1-b)-(1-e)(1-f)}{2}
\end{align}
である. これらを用いると, 定理2の多項式$p(w)$は
\begin{align}
p(w)&=-\frac{2^{2-2c}\pi\Gamma(e)\Gamma(f)}{\Gamma\left(\frac{e-a}2\right)\Gamma\left(\frac{f-a}2\right)\Gamma\left(\frac{e-b}2\right)\Gamma\left(\frac{f-b}2\right)}\\
&\qquad+\frac{2^{-2c}\pi\Gamma(e)\Gamma(f)}{\Gamma\left(\frac{a+e}2\right)\Gamma\left(\frac{a+f}2\right)\Gamma\left(\frac{b+e}2\right)\Gamma\left(\frac{b+f}2\right)}\left(2cn+(1-a)(1-b)-(1-e)(1-f)\right)
\end{align}
となる. よって以下を得る.
$a+b=1, e+f=2c+1$
\begin{align}
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b,c)_n}{n!(e,f)_n}\frac 1{n+w}
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
&\frac{(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_N}{(w+1-e,w+1-f,w)_N}\mu(w+N)\\
&=\mu(w)+\frac{2^{-2c}\pi\Gamma(e)\Gamma(f)}{\Gamma\left(\frac{a+e}2\right)\Gamma\left(\frac{a+f}2\right)\Gamma\left(\frac{b+e}2\right)\Gamma\left(\frac{b+f}2\right)}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(2c(n+w)+(1-a)(1-b)-(1-e)(1-f)\right)(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_{n}}{(w+1-e,w+1-f,w)_{n+1}}\\
&\qquad-\frac{2^{2-2c}\pi\Gamma(e)\Gamma(f)}{\Gamma\left(\frac{e-a}2\right)\Gamma\left(\frac{f-a}2\right)\Gamma\left(\frac{e-b}2\right)\Gamma\left(\frac{f-b}2\right)}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_{n}}{(w+1-e,w+1-f,w)_{n+1}}\\
&\frac{(e-w,f-w,1-w)_N}{(a-w,b-w,c-w)_N}\mu(w-N)\\
&=\mu(w)-\frac{2^{-2c}\pi\Gamma(e)\Gamma(f)}{\Gamma\left(\frac{a+e}2\right)\Gamma\left(\frac{a+f}2\right)\Gamma\left(\frac{b+e}2\right)\Gamma\left(\frac{b+f}2\right)}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(2c(n+1-w)-(1-a)(1-b)+(1-e)(1-f)\right)(e-w,f-w,1-w)_{n}}{(a-w,b-w,c-w)_{n+1}}\\
&\qquad-\frac{2^{2-2c}\pi\Gamma(e)\Gamma(f)}{\Gamma\left(\frac{e-a}2\right)\Gamma\left(\frac{f-a}2\right)\Gamma\left(\frac{e-b}2\right)\Gamma\left(\frac{f-b}2\right)}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(e-w,f-w,1-w)_{n}}{(a-w,b-w,c-w)_{n+1}}
\end{align}
が成り立つ.
特別な例
Dixonの和公式, Watsonの和公式, Whippleの和公式について, それに対応するモーメントの公式をより具体的に与えることができた. それら3つの和公式全ての特別な場合になっているものとして
\begin{align}
\F32{\frac 12,\frac 12,\frac 12}{1,1}{1}
\end{align}
がある. 最後にこの場合を与えておこうと思う.
\begin{align}
\mu(w):=\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12\right)_n^3}{n!^3}\frac 1{n+w}
\end{align}
とする. 定理2に$a=b=c=\frac 12$とした場合,
\begin{align}
\frac{\left(w+\frac 12\right)_N^3}{(w)_N^3}\mu(w+N)&=\mu(w)+\frac{\pi}{2\Gamma\left(\frac 34\right)^4}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(n+w+\frac 14\right)\left(w+\frac 12\right)_{n}^3}{(w)_{n+1}^3}-\frac{\Gamma\left(\frac 34\right)^4}{2\pi^3}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(w+\frac 12\right)_{n}^3}{(w)_{n+1}^3}\\
\frac{(1-w)_N^3}{\left(\frac 12-w\right)_N^3}\mu(w-N)&=\mu(w)-\frac{\pi}{2\Gamma\left(\frac 34\right)^4}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(n-w+\frac 34\right)(1-w)_{n}^3}{\left(\frac 12-w\right)_{n+1}^3}-\frac{\Gamma\left(\frac 34\right)^4}{2\pi^3}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-w)_{n}^3}{\left(\frac 12-w\right)_{n+1}^3}
\end{align}
である. 検算として, 定理3, 定理4を用いた場合にも同じになることも確かめられる. これらは対称モーメント, 反対称モーメントを用いると,
\begin{align}
\frac{\left(w+\frac 12\right)_N^3}{(w)_N^3}\hat{\mu}^\frac 12(w+N)&=\hat{\mu}^\frac 12(w)+\frac{\Gamma\left(\frac 34\right)^4}{\pi^3}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(w+\frac 12\right)_n^3}{(w)_{n+1}^3}\\
\frac{\left(w+\frac 12\right)_N^3}{(w)_N^3}\check{\mu}^\frac 12(w+N)&=\check{\mu}^\frac 12(w)+\frac{\pi}{\Gamma\left(\frac 34\right)^4}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(n+w+\frac 14\right)\left(w+\frac 12\right)_n^3}{(w)_{n+1}^3}
\end{align}
と表すことができる.
