東大数理の院試（2024年度専門B問9）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります．
$(X, \mathcal{F}, \mu)$を測度空間とする．また，$\NN = \{ 1, 2, \dots, \}$とする．
(1)
$B := \{ x \in X \, ; \, h(x) < 0\} \in \mathcal{F}$とおく．$\mu(B) > 0$とすると$\int_B h(x)d\mu(x) < 0$となって矛盾するから$\mu(B) = 0.$すなわち$h(x) \geq 0$ a.e..
(2)
成り立たない．$X = [0, \infty), \mathcal{F} = \mathcal{B}(X)$とし$\mu$をLebesgue測度とする．$f_n(x) = e^{-nx} + \frac{1}{n} \chi_{[0, n]}(x)$とすると$f(x) = 0, g(x) = e^{-nx}, a_n = 1 / n$として (a), (b) が成り立つ．ところが
$$
\int_X f_n(x) d\mu(x)
= \frac{1}{n} + 1
\to 1 \quad (n \to \infty), \qquad
\int_X f(x) d\mu(x) = 0
$$
である．
(3)
$\ell$を任意に固定すると$\{ \mu(A_n \cap B_\ell)\}_n$は$n$について単調減少で下に有界だから$\dis{L_\ell := \lim_{k \to \infty} \mu(A_k \cap B_\ell)}$が存在する．さらに$A_n \cap B_\ell \supset A_n \cap B_{\ell + 1}$より$\{ L_\ell\}_\ell$は下に有界な単調減少列であるから，$\dis{L := \lim_{\ell \to \infty} L_\ell}$も存在する．同様にして$\dis{L' := \lim_{k \to \infty} \lim_{\ell \to \infty} \mu(A_k \cap B_\ell)}$も存在する．今$\mu(A_k \cap B_\ell) \geq L_\ell \geq L$だから，$\ell \to \infty$とした後に$k \to \infty$とすれば$L' \geq L.$同様に$L \geq L'$となるから$L = L'.$
(4)
$2$つの極限が存在することは (3) と同様の議論で示せる．これらは等しいとは限らない．$X = [0, \infty), \mathcal{F} = \mathcal{B}(X)$とし，$\mu$をLebesgue測度とする．
$$
A_n = [0, n), \qquad
B_n = \bigcup_{i \geq 0} \bigg[ i, i + \frac{1}{n} \bigg)
$$
とすると
$$
\mu(A_k \cap B_\ell)
= \mu \bigg( \bigcup_{i = 0}^{k - 1} \bigg[ i, i + \frac{1}{\ell} \bigg) \bigg)
= \frac{k}{\ell}
$$
だから
$$
\lim_{k \to \infty} \lim_{\ell \to \infty} \mu(A_k \cap B_\ell)
= 0 \not= \infty
= \lim_{\ell \to \infty} \lim_{k \to \infty} \mu(A_k \cap B_\ell).
$$
(補足)
(3) の極限は，$A = \bigcap_{n \geq 1} A_n, B = \bigcap_{n \geq 1} B_n$とおいた時の$\mu(A \cap B)$とは限らない．例えば$A_n = [n, \infty), B_n = \RR$とすると (3) の極限は$\infty$だが$\mu(A \cap B) = \mu(\emptyset) = 0.$