東大数理院試2024年度専門B問9解答

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東大数理の院試（2024年度専門B問9）の解答です．
自分が作った解答はここに置いてあります．

（東大数理2024年度専門B問9）

$(X, F, μ)$ を測度空間とする．また， $N = {1, 2, \dots,}$ とする．

$X$ 上の $μ$ 可積分である実数値関数 $h$ は，任意の $A \in F$ に対して
$\int_{A} h (x) d μ (x) \geq 0$
を満たすものとする．このとき，ほとんど至るところ $h (x) \geq 0$ であることを示せ．
$X$ 上の $μ$ 可積分な実数値関数列 ${f_{n}}_{n \in N}$ が，以下の $2$ 条件 (a), (b) を満たすとする．
(a) $X$ 上の可測関数 $f$ が存在し，ほとんど至るところ
$lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x)$
が成り立つ．
(b) $X$ 上の $μ$ 可積分な実数値関数 $g$ と $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ を満たす実数列 ${a_{n}}_{n \in N}$ が存在し，任意の $n \in N$ について，ほとんど至るところ
$| f_{n} (x) | \leq g (x) + a_{n}$
が成り立つ．
このとき，
$lim_{n \to \infty} \int_{X} f_{n} (x) d μ (x) = \int_{X} f (x) d μ (x)$
が成り立つかどうかを答えよ．さらに，成り立つならば証明を与え，成り立たないならば反例となる $(X, F, μ)$ と ${f_{n}}_{n \in N}$ を一組あげよ．
可測集合列 ${A_{n}}_{n \in N} \subset F$ と ${B_{n}}_{n \in N} \subset F$ を，それぞれ単調減少列とする．すなわち， $A_{1} \supset A_{2} \supset A_{3} \supset \dots$ かつ $B_{1} \supset B_{2} \supset B_{3} \supset \dots$ とする．このとき，
$lim_{k \to \infty} lim_{ℓ \to \infty} μ (A_{k} \cap B_{ℓ}) と lim_{ℓ \to \infty} lim_{k \to \infty} μ (A_{k} \cap B_{ℓ})$
が存在することを示せ．ここで，極限が $+ \infty$ となる場合も，極限が存在するということとする．さらに，
$lim_{k \to \infty} lim_{ℓ \to \infty} μ (A_{k} \cap B_{ℓ}) = lim_{ℓ \to \infty} lim_{k \to \infty} μ (A_{k} \cap B_{ℓ})$
となることを示せ．
可測集合列 ${A_{n}}_{n \in N} \subset F$ と ${B_{n}}_{n \in N} \subset F$ を，それぞれ単調増大列，単調減少列とする．すなわち， $A_{1} \subset A_{2} \subset A_{3} \subset \dots$ かつ $B_{1} \supset B_{2} \supset B_{3} \supset \dots$ とする．このとき，
$lim_{k \to \infty} lim_{ℓ \to \infty} μ (A_{k} \cap B_{ℓ}) と lim_{ℓ \to \infty} lim_{k \to \infty} μ (A_{k} \cap B_{ℓ})$
が存在することを示せ．ここで，極限が $+ \infty$ となる場合も，極限が存在するということとする．さらに，
$lim_{k \to \infty} lim_{ℓ \to \infty} μ (A_{k} \cap B_{ℓ}) = lim_{ℓ \to \infty} lim_{k \to \infty} μ (A_{k} \cap B_{ℓ})$
が成り立つかどうかを答え，成り立つならば証明を与え，成り立たないならば反例となる $(X, F, μ), {A_{n}}_{n \in N}, {B_{n}}_{n \in N}$ を一組あげよ．

(1)
$B := {x \in X; h (x) < 0} \in F$ とおく． $μ (B) > 0$ とすると $\int_{B} h (x) d μ (x) < 0$ となって矛盾するから $μ (B) = 0.$ すなわち $h (x) \geq 0$ a.e..

(2)
成り立たない． $X = [0, \infty), F = B (X)$ とし $μ$ をLebesgue測度とする． $f_{n} (x) = e^{- n x} + \frac{1}{n} χ_{[0, n]} (x)$ とすると $f (x) = 0, g (x) = e^{- n x}, a_{n} = 1 / n$ として (a), (b) が成り立つ．ところが
$\int_{X} f_{n} (x) d μ (x) = \frac{1}{n} + 1 \to 1 (n \to \infty), \int_{X} f (x) d μ (x) = 0$
である．

(3)
$ℓ$ を任意に固定すると ${μ (A_{n} \cap B_{ℓ})}_{n}$ は $n$ について単調減少で下に有界だから $L_{ℓ} := lim_{k \to \infty} μ (A_{k} \cap B_{ℓ})$ が存在する．さらに $A_{n} \cap B_{ℓ} \supset A_{n} \cap B_{ℓ + 1}$ より ${L_{ℓ}}_{ℓ}$ は下に有界な単調減少列であるから， $L := lim_{ℓ \to \infty} L_{ℓ}$ も存在する．同様にして $L^{'} := lim_{k \to \infty} lim_{ℓ \to \infty} μ (A_{k} \cap B_{ℓ})$ も存在する．今 $μ (A_{k} \cap B_{ℓ}) \geq L_{ℓ} \geq L$ だから， $ℓ \to \infty$ とした後に $k \to \infty$ とすれば $L^{'} \geq L .$ 同様に $L \geq L^{'}$ となるから $L = L^{'} .$

(4)
$2$ つの極限が存在することは (3) と同様の議論で示せる．これらは等しいとは限らない． $X = [0, \infty), F = B (X)$ とし， $μ$ をLebesgue測度とする．
$A_{n} = [0, n), B_{n} = ⋃_{i \geq 0} [i, i + \frac{1}{n})$
とすると
$μ (A_{k} \cap B_{ℓ}) = μ (⋃_{i = 0}^{k - 1} [i, i + \frac{1}{ℓ})) = \frac{k}{ℓ}$
だから
$lim_{k \to \infty} lim_{ℓ \to \infty} μ (A_{k} \cap B_{ℓ}) = 0 \neq \infty = lim_{ℓ \to \infty} lim_{k \to \infty} μ (A_{k} \cap B_{ℓ}) .$

(補足)
(3) の極限は， $A = ⋂_{n \geq 1} A_{n}, B = ⋂_{n \geq 1} B_{n}$ とおいた時の $μ (A \cap B)$ とは限らない．例えば $A_{n} = [n, \infty), B_{n} = R$ とすると (3) の極限は $\infty$ だが $μ (A \cap B) = μ (\emptyset) = 0.$

投稿日：2024年3月30日

更新日：2024年3月30日

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