同じ偶数が並んだ多重t値の明示式
前の記事
で同じ偶数が並んだ多重ゼータ値$\zeta(\{2k\}^m)$の明示式を与えた. 今回は
\begin{align}
t(k_1,\dots,k_r):=\sum_{0\leq n_1<\cdots< n_r}\frac 1{(2n_1+1)^{k_1}\cdots(2n_r+1)^{k_r}}
\end{align}
によって定義される多重$t$値に対して同様の公式を導出したいと思う. $\zeta_N:=e^{\frac{2\pi i}N}$とする. 三角関数の無限乗積展開
\begin{align}
\prod_{0\leq n}\left(1-\frac{u^2}{\left(n+\frac 12\right)^2}\right)&=\cos\pi u
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq m}(2u)^{2km}t(\{2k\}^m)\\
&=\prod_{0\leq n}\left(1+\frac{u^{2k}}{\left(n+\frac 12\right)^{2k}}\right)\\
&=\prod_{j=0}^{k-1}\prod_{0\leq n}\left(1-\zeta_{2k}^{2j+1}\frac{u^2}{\left(n+\frac 12\right)^2}\right)\\
&=\prod_{j=0}^{k-1}\cos(\pi\zeta_{4k}^{2j+1}u)\\
&=\frac 1{2^k}\sum_{\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1}\in\{1,-1\}}\exp\left(i\pi u\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j\zeta_{4k}^{2j+1}\right)\\
&=\frac 1{2^k}\sum_{0\leq m}\frac{(2\pi u)^{2km}}{(2km)!}\sum_{\epsilon_1,\dots,\epsilon_{k-1}\in\{1,-1\}}\left(\frac 1{2i}\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j\zeta_{4k}^{2j+1}\right)^{2km}
\end{align}
より,
\begin{align}
t(\{2k\}^m)&=\frac 1{2^k}\frac{\pi^{2km}}{(2km)!}\sum_{\epsilon_1,\dots,\epsilon_{k-1}\in\{1,-1\}}\left(\frac 1{2i}\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j\zeta_{4k}^{2j+1}\right)^{2km}
\end{align}
を得る. ここで,
\begin{align}
\left(\frac 1{2i}\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j\zeta_{4k}^{2j+1}\right)^{2km}
\end{align}
は巡回群$C_{2n}=\langle \sigma \rangle$の作用
\begin{align}
\sigma:(\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1})\mapsto (\epsilon_1,\dots,\epsilon_{k-1},-\epsilon_0)
\end{align}
の作用に不変であるから,
前の記事
と全く同様の議論によりに以下を得る.
$m,k\geq 1$とする. $E_k$を巡回群$C_{2k}=\langle\sigma\rangle$の$\{1,-1\}$への作用
\begin{align}
\sigma:(\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1})\mapsto (\epsilon_1,\dots,\epsilon_{k-1},-\epsilon_0)
\end{align}
に関する濃度$2k$の軌道の集合とする. このとき,
\begin{align}
t(\{2k\}^m)&=\frac{2k\pi^{2km}}{2^k(2km)!}\sum_{x\in E_k}\left(\frac 1{2i}\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j\zeta_{4k}^{2j+1}\right)^{2km}
\end{align}
が成り立つ. ここで, $x=[\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1}]$は$(\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1})$の軌道である.
$k=1$のとき,
\begin{align}
t(\{2\}^m)&=\frac{\pi^{2m}}{2^{2m}(2m)!}
\end{align}
$k=2$のとき,
\begin{align}
t(\{4\}^m)&=\frac{\pi^{4m}}{2^{4m}(4m)!}
\end{align}
$k=3$のとき,
\begin{align}
t(\{6\}^m)&=\frac 34\frac{\pi^{6m}}{(6m)!}
\end{align}
などのように計算できる. Hoffmanの論文において, $k=6$まで明示式が与えられている. 多重ゼータ値の場合と並べてみると,
\begin{align}
t(\{2k\}^m)&=\frac{2k\pi^{2km}}{2^k(2km)!}\sum_{x\in E_k}\left(\frac 1{2i}\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j\zeta_{4k}^{2j+1}\right)^{2km}\\
\zeta(\{2k\}^m)&=\frac{2k(2\pi)^{2km}}{(2km+k)!}\sum_{x\in E_k}\epsilon_0\cdots\epsilon_{k-1}\left(\frac 1{2i}\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j\zeta_{4k}^{2j+1}\right)^{2km+k}
\end{align}
となるが, この右辺に現れる部分を
\begin{align}
A_m:=\frac{2k}{(km)!}\sum_{x\in E_k}\left(\epsilon_0\cdots\epsilon_{k-1}\left(\frac 1{2i}\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j\zeta_{4k}^{2j+1}\right)^k\right)^{m}
\end{align}
とすると,
\begin{align}
t(\{2k\}^m)&=\frac{\pi^{2km}}{2^k}A_{2m}\\
\zeta(\{2k\}^m)&=(2\pi)^{2km}A_{2m+1}
\end{align}
と同じ数列を用いて表すことができる. よって以下の問題が本質的である.
$E_k$の異なる軌道$[\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1}],[\epsilon_0',\dots,\epsilon_{k-1}']$に対し,
\begin{align}
\epsilon_0\cdots\epsilon_{k-1}\left(\frac 1{2i}\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j\zeta_{4k}^{2j+1}\right)^{k},\epsilon_0'\cdots\epsilon_{k-1}'\left(\frac 1{2i}\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j'\zeta_{4k}^{2j+1}\right)^{k}
\end{align}
はどのような場合に共役になるか.
漸近展開
前の記事 と同様に, 定理1から以下の漸近展開が得られる.
$m\to\infty$において, 以下の漸近展開が成り立つ.
\begin{align}
t(\{2k\}^m)&=\frac{2k\pi^{2km}}{2^k(2km)!}\left(\frac 1{2\sin\frac{\pi}{2k}}\right)^{2km}(1+O(c^m))
\end{align}
ここで, $c$は絶対値が$1$未満の定数である.
多重ゼータ値の場合と多重$t$値の場合が漸近展開できたので, それらを統一するものとして以下の問題が考えられる.
多重Hurwitzゼータ値を
\begin{align}
\zeta(k_1,\dots,k_r;w)&=\sum_{0\leq n_1<\cdots< n_r}\frac 1{(n_1+w)^{k_1}\cdots(n_r+w)^{k_r}}
\end{align}
とするとき, 定理2のような形で$m\to\infty$における
\begin{align}
\zeta(\{2k\}^m;w)
\end{align}
が漸近展開できるか.
