同じ偶数が並んだ多重ゼータ値の明示式
今回は, $\zeta(\{2k\}^m)$を$\pi^{2km}$の有理数倍で明示的に表す公式について考えたいと思う. 三角関数の無限乗積展開
\begin{align}
\prod_{0< n}\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)&=\frac{\sin\pi t}{\pi t}
\end{align}
を用いる. $\zeta_N:=e^{\frac{2\pi i}N}$とする. 母関数を考えると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq m}t^{2km}\zeta(\{2k\}^m)\\
&=\prod_{0< n}\left(1+\frac{t^{2k}}{n^{2k}}\right)\\
&=\prod_{j=0}^{k-1}\prod_{0< n}\left(1-\zeta_{2k}^{2j+1}\frac{t^2}{n^2}\right)\\
&=\prod_{j=0}^{k-1}\frac{\sin(\pi \zeta_{4k}^{2j+1}t)}{\pi\zeta_{4k}^{2j+1}t}\\
&=\frac{\prod_{j=0}^{k-1}\left(\exp(i\pi\zeta_{4k}^{2j+1}t)-\exp(-i\pi\zeta_{4k}^{2j+1}t)\right)}{(-2\pi t)^k}\\
&=\frac{1}{(-2\pi t)^k}\sum_{\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1}\in\{1,-1\}}\epsilon_0\cdots \epsilon_{k-1}\exp\left(i\pi t\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{4k}^{2j+1}\right)\\
&=\frac{1}{(-2\pi t)^k}\sum_{\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1}\in\{1,-1\}}\epsilon_0\cdots \epsilon_{k-1}\sum_{0\leq m}\frac{(i\pi t)^{2km+k}}{(2km+k)!}\left(\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{4k}^{2j+1}\right)^{2km+k}\\
&=\frac{1}{(2i)^k}\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^{km}(\pi t)^{2km}}{(2km+k)!}\sum_{\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1}\in\{1,-1\}}\epsilon_0\cdots \epsilon_{k-1}\left(\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{4k}^{2j+1}\right)^{2km+k}
\end{align}
が得られる. よって,
\begin{align}
\zeta(\{2k\}^m)&=\frac{1}{(2i)^k}\frac{(-1)^{km}\pi ^{2km}}{(2km+k)!}\sum_{\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1}\in\{1,-1\}}\epsilon_0\cdots \epsilon_{k-1}\left(\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{4k}^{2j+1}\right)^{2km+k}\\
&=\frac{i}{(2i)^k}\frac{(-1)^{(k+1)m}\pi ^{2km}}{(2km+k)!}\sum_{\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1}\in\{1,-1\}}\epsilon_0\cdots \epsilon_{k-1}\left(\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{2k}^{j}\right)^{2km+k}
\end{align}
と表される. ここで,
\begin{align}
\epsilon_0\cdots \epsilon_{k-1}\left(\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{2k}^{j}\right)^{2km+k}
\end{align}
は位数$2k$の巡回群$C_{2k}=\langle\sigma\rangle$の作用
\begin{align}
\sigma:(\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1})\mapsto (\epsilon_1,\dots,\epsilon_{k-1},-\epsilon_0)
\end{align}
で不変であるから, その軌道$[\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1}]\in\{1,-1\}^k/C_{2k}$に対する
\begin{align}
\left(\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{2k}^{j}\right)^{2km+k}
\end{align}
を考えるだけでよい. 軌道$[\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1}]$の濃度が$d<2k$であるとき,
\begin{align}
\zeta_{2k}^d\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{2k}^{j}=\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{2k}^{j}
\end{align}
となることから,
\begin{align}
\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{2k}^{j}=0
\end{align}
となる. よって, $\{1,-1\}^k/C_{2k}$の中で特に軌道の濃度が$2k$だけのもの全体の集合を$E_k$とすると,
\begin{align}
&\sum_{\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1}\in\{1,-1\}}\epsilon_0\cdots \epsilon_{k-1}\left(\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{2k}^{j}\right)^{2km+k}\\
&=2k\sum_{x\in E_k}\epsilon_0\cdots \epsilon_{k-1}\left(\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{2k}^{j}\right)^{2km+k}\qquad x=[\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1}]
\end{align}
と書くことができる. まとめると, 以下のようになる.
$m\geq 0,k\geq 1$とする. $E_k$を巡回群$C_{2k}=\langle \sigma\rangle$の$\{1,-1\}^k$への作用
\begin{align}
\sigma:(\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1})\mapsto (\epsilon_1,\dots,\epsilon_{k-1},-\epsilon_0)
\end{align}
に関する濃度$2k$の軌道の集合とする. このとき,
\begin{align}
\zeta(\{2k\}^m)&=\frac{2ki}{(2i)^k}\frac{(-1)^{(k+1)m}\pi ^{2km}}{(2km+k)!}\sum_{x\in E_k}\epsilon_0\cdots \epsilon_{k-1}\left(\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{2k}^{j}\right)^{2km+k}\\
&=\frac{2k(2\pi)^{2km}}{(2km+k)!}\sum_{x\in E_k}\epsilon_0\cdots \epsilon_{k-1}\left(\frac 1{2i}\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{4k}^{2j+1}\right)^{2km+k}
\end{align}
が成り立つ. ここで, $x=[\epsilon_0,\dots,\epsilon_{k-1}]$である.
$E_k$に含まれる軌道の数は$\frac{2^k}{2k}$以下である. 例として, $k=1,2,3$の場合, そのような軌道の数がただ1つであるから簡単に計算できる.
$k=1$のとき,
\begin{align}
\zeta(\{2\}^m)&=\frac{\pi^{2m}}{(2m+1)!}
\end{align}
$k=2$のとき,
\begin{align}
\zeta(\{4\}^m)&=\frac 1i\frac{(-1)^m\pi^{4m}}{(4m+2)!}(1+i)^{4m+2}\\
&=\frac{2^{2m+1}\pi^{4m+2}}{(4m+2)!}
\end{align}
$k=3$のとき,
\begin{align}
\zeta(\{6\}^m)&=-\frac 34\frac{\pi^{6m}}{(6m+3)!}(1+e^{\frac{\pi i}3}+e^{\frac{2\pi i}3})^{6m+3}\\
&=-\frac 34\frac{\pi^{6m}}{(6m+3)!}(1+i\sqrt 3)^{6m+3}\\
&=\frac{6(2\pi)^{6m}}{(6m+3)!}
\end{align}
のようになる. $k=4$の場合は軌道は$[1,1,1,1]$と$[1,1,-1,1]$の2つであり,
\begin{align}
\zeta(\{8\}^m)&=\frac i2\frac{(-1)^m\pi^{8m}}{(8m+4)!}((1+(1+\sqrt 2)i)^{8m+4}-(1+(\sqrt 2-1)i)^{8m+4})\\
&=\frac i2\frac{(-1)^m\pi^{8m}}{(8m+4)!}((2(1+\sqrt 2)(i-1))^{4m+2}-(2(1-\sqrt 2)(i+1))^{4m+2})\\
&=\frac{2^{6m+2}\pi^{8m}}{(8m+4)!}((1+\sqrt 2)^{4m+2}+(1-\sqrt 2)^{4m+2})
\end{align}
となる. $k=5$以降も同様に計算できるが, そのまま計算すると計算が複雑になるため, 何か工夫を考えたいところである.
以下の問題が考えられる.
$E_k$の濃度はいくつか. また, $E_k$の各軌道の代表元は明示的にどのようにとれるか.
\begin{align}
\left(\frac 1{2i}\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{4k}^{2j+1}\right)^{2k}, \left(\frac 1{2i}\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j '\zeta_{4k}^{2j+1}\right)^{2k}
\end{align}
が共役になるような$E_k$の2つの元$[\epsilon_1,\dots,\epsilon_{k-1}],[\epsilon_1',\dots,\epsilon_{k-1}']$を共役であるということにすると, $E_k$の共役類の個数, 各共役類の濃度はどのようになるか.
漸近展開
\begin{align}
\zeta(\{2k\}^m)&=\frac{2k(2\pi)^{2km}}{(2km+k)!}\sum_{x\in E_k}\epsilon_0\cdots \epsilon_{k-1}\left(\frac 1{2i}\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{4k}^{2j+1}\right)^{2km+k}
\end{align}
の右辺に現れる
\begin{align}
\frac 1{2i}\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_j \zeta_{4k}^{2j+1}
\end{align}
は$x=[1,\dots,1]$の場合にその絶対値が最大であり, そのとき,
\begin{align}
\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{2k}}
\end{align}
である. よって, 以下の結果を得る.
$m\to\infty$において, 以下の漸近展開が成り立つ.
\begin{align}
\zeta(\{2k\}^m)=\frac{2k(2\pi)^{2km}}{(2km+k)!}\left(\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{2k}}\right)^{2km+k}(1+O(c^m))
\end{align}
ここで, $c$は絶対値が$1$未満の定数である.
以下のような問題が考えられるだろう.
定理2のような漸近展開を一般のインデックス$\bk$の反復$\zeta(\{\bk\}^m)$に対して与えることができるか.
有像無像さんの記事
で許容インデックス$\bk$の深さを$r$, 重さを$k$としたとき,
\begin{align}
\lim_{m\to\infty}((km)!\zeta(\{\bk\}^m))^{\frac 1{km}}&=\frac{\pi}{\sin\frac{\pi r}k}
\end{align}
であることが示されているようであるが, それが定理2のように精密化できるかどうかが問題である.
