院解9 京大数学系H26 基礎II 3 複素積分の値

図2のような積分路をとる.

向き付けられた線分$[-R,-R+2i]$上では$R\to \mathrm{\infty }$のとき

$\left|{\displaystyle {\int }_{[-R,-R+2i]}{\displaystyle \frac{\text{cos}z}{z^2+1}}dz}\right|=\left|{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{e^{i(-R+2ti)}+e^{-i(-R+2ti)}}{(-R+2ti{)}^2+1}}\cdot 2dt}\right|$
$\le 4e^2{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{R^2}}dt\le {\displaystyle \frac{4e^2}{R^2}}\to 0(R\to \mathrm{\infty }).}$
$[R+2i,R]$上でも同様.よって${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\text{cos}t}{t^2+1}}dt}$が存在するとすれば,留数定理から

$(\text{与式})={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\text{cos}t}{t^2+1}}dt-2\pi i\text{Res}({\displaystyle \frac{\text{cos}z}{z^2+1}},i)}$.ここで

$\text{Res}({\displaystyle \frac{\text{cos}z}{z^2+1}},i)={\displaystyle \frac{\text{cos}i}{4i}}={\displaystyle \frac{e^{-1}+e}{4i}}$.さらに

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\text{cos}x}{x^2+1}}dx=\frac{\pi }{e}}$であることは次のようにわかる.

$f(z)={\displaystyle \frac{e^{iz}}{z^2+1}}$とおき,図3の積分路を取る.

$z=a+bi$として$b\ge 0$で$e^{i(a+bi)}\le 1$.よって積分路の半円の部分,線分の部分をそれぞれ${\mathrm{\Gamma }}_1$,${\mathrm{\Gamma }}_2$とおくと

$\left|{\displaystyle {\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_1}f(z)dz}\right|\le {\displaystyle {\int }_0^{\pi }\left|{\displaystyle \frac{R}{R^2{e}^{2it}+1}}\right|dt\le {\displaystyle \frac{\pi }{R}}\to 0(R\to \mathrm{\infty })}$.
よって留数定理から
${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\text{cos}x}{x^2+1}}dx=2\pi i{\displaystyle \frac{e^{-1}}{2i}}={\displaystyle \frac{\pi }{e}}}$.
よって${\displaystyle \frac{\pi }{e}}-2\pi I{\displaystyle \frac{e^{-1}+e}{4i}}={\displaystyle \frac{\pi }{2e}}-{\displaystyle \frac{\pi e}{2}}$.$◻$