テンソル整理パズル
テンソル積に慣れるための練習問題を15問用意しました.
$A$代数$B,C$のテンソル積$B\otimes_A C$を環として綺麗な形に書き直してください.
それでは始めます.
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初級
$\Q \otimes_\Z \F_p$
$(\Z[X]/(X^3−1))\otimes_\Z \F_5$
$\Q[\sqrt2]\otimes_\Q \R$
$\Z[\sqrt{-1}]\otimes_\Z \F_5$
$\Q \otimes_\Z \Q$
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解答
一般に$A[X]\otimes_A B\cong B[X],\ A/I\otimes_A B\cong B/IB,\ S^{-1}A\otimes_A B\cong S^{-1}B$となることを使えば, テンソルの定義に戻る必要はありません.
(1) $\Q \otimes_\Z \F_p=\Q\otimes_\Z \Z/p\Z\cong \Q/p\Q=$$0$
(2) $(\Z[X]/(X^3−1))\otimes_\Z \F_5\cong \F_5[X]/((X-1)(X^2+X+1))$
$\cong \F_5[X]/(X-1)\times \F_5[X]/(X^2+X+1)=$$ \F_5\times \F_{25}$
(3) $\Q[\sqrt2]\otimes_\Q \R\cong \R[X]/(X^2-2)=\R[X]/((X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2}))\cong$$\R^2$
(4) $\Z[\sqrt{-1}]\otimes_\Z \F_5\cong \F_5[X]/(X^2+1)=\F_5[X]/((X+2)(X-2))\cong$$\F_5^2$
(5) $\Q \otimes_\Z \Q\cong$$\Q$（$\Q$内で整数をinvertしても$\Q$のまま.）
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中級
$\C\otimes_\R \C$
$(\Z/6\Z)\otimes_\Z(\Z/10\Z)$
$(\Z[X]/(X^2-2))\otimes_{\Z[X]}(\Z[X]/(X^2+1))$
$\Z_p\otimes_\Z \F_p$
$\Q[\sqrt{2}]\otimes_{\Z[\sqrt{2}]}\R$
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解答
(1) $\C\otimes_\R \C=\R[X]/(X^2+1)\otimes_\R\C\cong\C[X]/(X^2+1)\cong$$\C^2$
(2) $(\Z/6\Z)\otimes_\Z(\Z/10\Z)\cong (\Z/6\Z)/(10)=(\Z/6\Z)/(2)\cong$$\Z/2\Z$
(3) $(\Z[X]/(X^2-2))\otimes_{\Z[X]}(\Z[X]/(X^2+1))\cong \Z[X]/(X^2-2,X^2+1)=$$\F_9$
(2)(3)を一般化して, $A/I\otimes_A A/J\cong A/(I+J)$が成り立ちます.
(4) $\Z_p\otimes_\Z \F_p\cong\Z_p/p\Z_p=$$\F_p$
(5) $\Q[\sqrt{2}]\otimes_{\Z[\sqrt{2}]}\R\cong$$\R$（これも, $\R$をinvertしたものなので変わらない.）
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上級
$\F_{4}\otimes_{\F_2} \F_{16}$
$\Q[\sqrt2]\otimes_\Q\Q[\sqrt2]$
$\Q[X]\otimes_{\Q[X^2]}\Q[X]$
$(\F_2[X]/(X^3−1))\otimes_{\F_2}(\F_2[X]/(X^3−1))$
$(\R[X]/(X^4-1))\otimes_{\R[X^2]}(\R[X]/(X^4-1))$
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解答
(1) $\F_{4}\otimes_{\F_2} \F_{16}=\F_2[X]/(X^2+X+1)\otimes_{\F_2}\F_{16}\cong \F_{16}[X]/(X^2+X+1)\cong $$\F_{16}^2$
(2) $\Q[\sqrt2]\otimes_\Q\Q[\sqrt2]\cong \Q[\sqrt2][X]/(X^2-2)\cong$$\Q[\sqrt2]^2$
(3) $\Q[X]\otimes_{\Q[X^2]}\Q[X]\cong \Q[X][Y]/(Y^2-X^2)\cong$$\Q[S,T]/(ST)$
(4) $(\F_2[X]/(X^3−1))\otimes_{\F_2}(\F_2[X]/(X^3−1))\cong(\F_2\times\F_4)\otimes_{\F_2}(\F_2\times\F_4)\cong$$\F_2\times\F_4^4$
$\F_q$同士のテンソル積は(1)と同様に計算します.
(5) $(\R[X]/(X^4-1))\otimes_{\R[X^2]}(\R[X]/(X^4-1))$
$=(\R[X^2][Y]/(X^4-1,Y^2-X^2))\otimes_{\R[X^2]}(\R[X^2][X]/(X^4-1))$
$\cong \R[X,Y]/(X^4-1,Y^2-X^2)= (\R[X]/(X^4-1))[Y]/((Y-X)(Y+X))$
$\cong \R[X]/(X^4-1)\times \R[X]/(X^4-1)\cong $$\R^4\times\C^2$
ただし, 3行目から4行目では, $\R[X]/(X^4-1)$で$2X$が単元なので中国剰余定理を用いました.
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おわり
テンソルは定義に従うと意味がわかりませんが, 係数拡大や商やinvertなどの性質を付け足すことができる便利なやつと思っていれば大体大丈夫です. みなさんもテンソルを怖がらずに受け入れていきましょう！
それでは, ここまで読んでくださった方, ありがとうございました.
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