数理論理学において定石となる数学的道具

$\lnot$P$\Leftrightarrow$(P$\leftrightarrow$$\bot$)の有用性

上記の式は「非常に強力な武器（公式）として覚えておく価値が極めて高い」と言えます。
特に数理論理学の証明問題（十全性や式の変形）において、この関係式は「否定（$\neg$）」と「同値（$\leftrightarrow$）」や「矛盾（$\bot$）」を橋渡しする唯一無二のルートになるからです。

なぜこれが重要なのか、3つの視点で整理します。

1. 意味論的な納得（真理値表での確認）

「覚える」前に、真理値表でその必然性を確認しておくと忘れません。

(一応、($P \leftrightarrow \bot$)$\Leftrightarrow$(($P$$\rightarrow$$\bot$)$\land$($P$$\leftarrow$$\bot$))
であることは言及しておく。)
表の右2列が完全に一致します。
つまり、「$P$ が偽（0）のときだけ、偽（$\bot$）と同値になる」という性質が、そのまま否定の定義と重なるわけです。

2. 数学的ツールとしての利点

この式を知っていると、以下のような「思考のショートカット」が可能になります。
・否定記号を消去できる: 証明問題で「$\{\leftrightarrow, \bot\}$ だけを使って表現せよ」と言われた際、即座に書き換えが可能です。
・「偽」の導入: 「否定をどうにかして表現したい」と思ったとき、「常に偽になるパーツ（矛盾式）」さえ作れれば、あとは $\leftrightarrow$ で繋ぐだけで否定が完成するという戦略目標が立ちます。

3. 「双対（そうつい）」の関係もセットで

この定石には相棒がいます。あわせて覚えておくと、応用範囲が広がります。
否定: $\neg P \equiv P \leftrightarrow \bot$ （$P$ は偽と等しい）
肯定: $P \equiv P \leftrightarrow \top$ （$P$ は真と等しい）
※ $\top$ はトートロジー（恒真式）です。

結論：どう向き合うべきか

九九のように「暗記」するというよりは、
「否定記号がない世界で否定を作るための標準的なテクニック」として引き出しに入れておくのがベストです。

ちなみにこの知識は、『論理学をつくる』79頁の練習問題19(3)を解く際に、
前もって頭に入れておくと良いです。
恐らくですが、いきなり374頁にあるような解答を導くのは無理だと思います。。