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二項係数の3乗が入った二重級数まとめ

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βn:=(2nn)22n,A:=n=0βn3,B:=n=11n3βn3,C:=n=0(1)n(n+12)2
とする.

分母が整数なもの

n=0βn3=An=0βn3k=1n1k=2A(π3ln2)n=0βn3k=1n1k2=A(Cπ23)n=0βn3k=1n1k3=?n=0βn3k=1n1k2βk=Aπ22Bπn=0βn3k=1n1k3βk=?n=0βn3k=1n1k2βk2=(π22C)An=0βn3k=1n1k3βk2=(π314ζ(3))ABn=0βn3k=1n1k3βk3=A(BAπ33)

分母が半整数なもの

n=0βn3k=0n11k+12=Aπ3n=0βn3k=0n11(k+12)2=(π22C)An=0βn3k=0n11(k+12)3=?n=0βn3k=0n11(k+12)2βk=(2Cπ2)A+Bπn=0βn3k=0n11(k+12)3βk=?n=0βn3k=0n11(k+12)2βk2=(π22C)An=0βn3k=0n11(k+12)3βk2=(28ζ(3)π3)An=0βn3k=0n11(k+12)3βk3=A(BAπ33)

(k+14)βk3が入っているもの

n=11n2k=0n1(k+14)βk3=A1A(12+Cπ2)n=11n3k=0n1(k+14)βk3=?n=1(1n2βnk=0n1(k+14)βk32πn)=?n=11n3βnk=0n1(k+14)βk3=?n=11n3βn2k=0n1(k+14)βk3=?n=1(1n3βn3k=0n1(k+14)βk32n)=4ln2πn=01(n+12)2k=0n(k+14)βk3=Cπ2A+An=01(n+12)3k=0n(k+14)βk3=?n=0(1(n+12)2βnk=0n(k+14)βk32π(n+1))=?n=01(n+12)3βnk=0n(k+14)βk3=?n=01(n+12)3βn2k=0n(k+14)βk3=1A(2Cπ+π)n=0(1(n+12)3βn3k=0n(k+14)βk32n+1)=4ln2π

投稿日:2023811
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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  1. 分母が整数なもの
  2. 分母が半整数なもの
  3. (k+14)βk3が入っているもの