同型であることの証明

$\mathbb{Z}$と$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$は準同型。従って同型。

証明

$\mathbb{N}$と$\mathbb{N}\times\mathbb{N}$は準同型。
$\mathbb{N}$の一つの元に対して、$\mathbb{N}\times\mathbb{N}$の中の複数個を対応させても同じように準同型になる。
$\mathbb{N}$の$n$個の元に対して、$\mathbb{N}\times\mathbb{N}$の中の$n$個の元を対応させても同じように準同型。同型になる。

両方の元の数が無限になるように、極限を取っても準同型。同型。
しかも、こっそり

$\mathbb{N}$、$\mathbb{N}\times\mathbb{N}$のどちらかの元複数個に対してどちらかを対応させても準同型。
準同型である場合、この場合の二つの群は同型。だから同型。
Q. E. D.
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