自然数において, 1の次が2である証明

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自然数は, なぜ1のあとに $2, 3, 4, \cdots$ と続くのか？これは, 「1を足せばいいから」と答える人が多いと思うが, それはなぜ成り立つのか？成り立つ理由は, 自然数と足し算(加法)の定義によるものであり, 今回は「自然数の次の数を得るためには, 1を足せばよい」, 代表例として「1の次は $1+1$ で2である」ことを示す.

「公理」というのは一番最初に行う定義であり, ペアノの公理で自然数の全体が定義されている. 以下にペアノの公理を書く.

ペアノの公理

0は自然数である.
任意の自然数の後者 (次の数) は自然数である.
違う自然数は違う後者を持つ.
0が後者である自然数はない.
0がある条件を満たし, 任意の自然数がその条件を満たせばその後者が条件を満たすとき, すべての自然数はその条件を満たす. (数学的帰納法の公理)
0の後者を1とする.

ペアノの公理（論理記号版）

$\mathbb{N}$を自然数の集合とする. また, 自然数 $a$ の後者を $s(a)$ と表すとする.

$0\in\mathbb{N}$
$\forall n\in\mathbb{N}:s(n)\in\mathbb{N}$
$n\in\mathbb{N}, m\in\mathbb{N}, \text{s.t.}\;n\neq m:s(n)\neq s(m)$
$\lnot\exists n\in \mathbb{N} \; \text{s.t.} \; s(n)=0$
$∀P⊆\mathbb{N}:P∧∀n∈\mathbb{N}:(n∈P→(n+1)∈P))→∀n∈\mathbb{N}:n∈P)$
$s(0)=1$

これで自然数を定義できた. 「1の次に2がくる」ことを示すために, 1の後者が2であることを証明すれば良い. 足し算の定義(加法の公理)からこれを示す.

加法の公理

このとき, 足し算は次のように定義されている.

$a+0=a$
$a + s(b)=s(a+b)$

これを踏まえ,
\begin{align*} a+1&=a+s(0) \;\;\;\;\; \text{ペアノの公理(vi)より}\\ &=s(a+0) \;\;\;\;\; \text{加法の公理(ii)より}\\ &=s(a) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{加法の公理(i)より} \end{align*}

ここから, 自然数 $a$ の後者を求めるためには, 1を足せば良い. これを使い, $s(1)=1+1=2$ であり, 1の後者が2であることが証明できたため, 自然数において, 1の次は2であることが示された.

投稿日：2023年5月27日

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