自然数において, 1の次が2である証明

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自然数は, なぜ1のあとに $2, 3, 4, \dots$ と続くのか？これは, 「1を足せばいいから」と答える人が多いと思うが, それはなぜ成り立つのか？成り立つ理由は, 自然数と足し算(加法)の定義によるものであり, 今回は「自然数の次の数を得るためには, 1を足せばよい」, 代表例として「1の次は $1 + 1$ で2である」ことを示す.

「公理」というのは一番最初に行う定義であり, ペアノの公理で自然数の全体が定義されている. 以下にペアノの公理を書く.

ペアノの公理

0は自然数である.
任意の自然数の後者 (次の数) は自然数である.
違う自然数は違う後者を持つ.
0が後者である自然数はない.
0がある条件を満たし, 任意の自然数がその条件を満たせばその後者が条件を満たすとき, すべての自然数はその条件を満たす. (数学的帰納法の公理)
0の後者を1とする.

ペアノの公理（論理記号版）

$N$ を自然数の集合とする. また, 自然数 $a$ の後者を $s (a)$ と表すとする.

$0 \in N$
$\forall n \in N : s (n) \in N$
$n \in N, m \in N, s.t. n \neq m : s (n) \neq s (m)$
$\neg \exists n \in N s.t. s (n) = 0$
$\forall P \subseteq N : P \land \forall n \in N : (n \in P \to (n + 1) \in P)) \to \forall n \in N : n \in P)$
$s (0) = 1$