位数4の群の分類

$x\in G$について、$\langle x\rangle \leqq G$ である。
定義より、$|\langle x \rangle|=|x|$となる。
ラグランジュの定理により、$|x|$は$|G|$の約数でなければならない。
よって、$|x|=1,2,4$である。

$\exists x \in G , |x|=4$であるとき、$H=\langle x\rangle$とおくと、
$H \leqq G$ かつ $|H|=|G|$　なので、$H=G$
よってこのとき、 $G=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$となる。
次に　$\forall x \in G ,|x|\leqq 2$とする。　
$H=\langle x \rangle$とおく。$y \in G\setminus H$ について、$G=H\oplus yH$と書ける。
ここで、$A\cap B= \varnothing $なる集合$A,B$に対して、$A\oplus B=\{x | x\in A \cup B\}$ を表す。
これにより、$x,y$から生成される群を$\langle x,y \rangle $と表すことにすると、$G=\langle x,y \rangle = \{x^ay^b |a,b\in\{0,1\}\}$である。
任意の元の位数が2以下であるから、　
$|xy|=2 \Rightarrow xyxy=1 \Rightarrow xyxyyx=yx \Rightarrow xy=yx$
なので、$G$は可換である。
これにより$G$の型がすべて定まり、うえで与えた形は
$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$
と等しくなる。