既約表現の和は直和
体$k$上のベクトル空間$V$を, $k$上の代数群の表現とし, $V$はirreducible subrepresentations $V_i$の和であるとする; $V=\sum_{i\in I} V_i$.
$$\mathcal{K}=\{J \subset I \mid \sum_{j \in J}V_j = \bigoplus_{j \in J} V_j \}$$
は集合の包含関係に関して, 空でない半順序集合である.
$\mathcal{L} \subset \mathcal{K}$を任意の全順序部分集合とする.
$L=\{ j \in I \mid j \in J \in \mathcal{L} \}$とおくと, $\sum_{j \in L}V_j = \bigoplus_{j \in L} V_j$.
任意の$v \in \sum_{j \in L}V_j$に対して, 互いに相異なる有限個の$j_1,\dots, j_n \in L$と$v_{j_1}\in V_{j_1},\dots, v_{j_n}\in V_{j_n}$があって, $v=v_{j_1}+\dots + v_{j_n}$と表せる. $j_1 \in J_1,\dots, j_n \in J_n \in \mathcal{L}$とする.
$\mathcal{L}$は全順序部分集合だから, $J_1,\dots, J_n$の中に最大元がある. 適当に番号を付けかえてそれを$J_1$としよう. このとき$j_1,\dots, j_n \in J_1$であるから,
$$v=v_{j_1}+\dots + v_{j_n} \in \sum_{j \in J_1}V_j =\bigoplus_{j \in J_1}V_j \subset \bigoplus_{j \in L}V_j.$$
Zornの補題から$\mathcal{K}$には極大元$K$が存在する.
$$W:=\bigoplus_{j \in K}V_j = \sum_{j \in K}V_j \subset V$$
とおき, $W=V$を示そう.
$W\neq V$とすると, ある$V_i$で, $V_i \not\subset W$を満たすものがある.
$V_i$はirreducibleだから, $V_i \cap W= \{0\}$である.
よって$V_i+W=V_i\oplus W =\bigoplus_{j \in K\cup \{i \}}V_j$は直和であるので, $K\cup \{i \}\in \mathcal{K}$.
これは$K$が極大元であることに矛盾.
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