松村可換環論 演習問題 7.1~7.3

($\Rightarrow$) $\mathcal{S}$を$A$加群の系列とする. $\mathcal{S}$が完全であるとき, $B$は$A$平坦だから$\mathcal{S}{\otimes }_{A}B$は完全であり, $B{\otimes }_{A}M$は仮定により$B$平坦だから$\mathcal{S}{\otimes }_{A}B{\otimes }_{B}B{\otimes }_{A}M=\mathcal{S}{\otimes }_{A}B{\otimes }_{A}M=\mathcal{S}{\otimes }_{A}M{\otimes }_{A}B$も完全である. よって, $B$は忠実平坦だから$\mathcal{S}{\otimes }_{A}M$は完全であり, $M$が$A$平坦であることが従う. $B{\otimes }_{A}M$が$B$忠実平坦で$\mathcal{S}{\otimes }_{A}M$が完全列なら, $\mathcal{S}{\otimes }_{A}M{\otimes }_{B}B=\mathcal{S}{\otimes }_{A}B{\otimes }_{B}M$で, $B$は$A$忠実平坦だから$\mathcal{S}{\otimes }_{A}B{\otimes }_{B}M{\otimes }_{A}B$は完全である. ゆえに, 仮定により$\mathcal{S}$は完全だから$M$は忠実平坦である.

($\Leftarrow$) $\mathcal{S}$を$B$加群の系列とする. $\mathcal{S}$が完全で$M$が$A$平坦だとすると, $\mathcal{S}{\otimes }_{B}B{\otimes }_{A}M=\mathcal{S}{\otimes }_{A}M$であり, 仮定により$M$は平坦だから$\mathcal{S}{\otimes }_{B}B{\otimes }_{A}M$は完全. ゆえに$B{\otimes }_{A}M$は$B$平坦である. 一方$\mathcal{S}{\otimes }_{B}B{\otimes }_{A}M$が完全で$M$が$A$忠実平坦ならば$\mathcal{S}{\otimes }_{B}B{\otimes }_{A}M=\mathcal{S}{\otimes }_{A}M$だから$\mathcal{S}$は完全である.

$b=a/s\in B(a,s\in A)$とするとき, $sb=a\in sB\cap A=sA$だから$b\in A$. ($sB\cap A=sA$であることは, 松村Mats定理7.5から従う)

仮定により, 系列$B^{\oplus \Lambda }\stackrel{\phi }{\to }B{\otimes }_{A}M\to 0(\phi (b_{\lambda })=\sum _{\lambda \in \Lambda }{b}_{\lambda }\otimes m_{\lambda })$は完全である. また, $B^{\oplus \Lambda }\simeq B{\otimes }_A{A}^{\oplus \Lambda }$で$\phi ={\mathrm{id}}_B\otimes \psi (\psi :A^{\oplus \Lambda }\to M,(a_{\lambda }{)}_{\lambda \in \Lambda }\mapsto \sum _{\lambda \in \Lambda }{a}_{\lambda }{m}_{\lambda })$と思えるから, 仮定により$A^{\oplus \Lambda }\stackrel{\psi }{\to }M\to 0$は完全であり, これは$M$が$A$上${\{m_{\lambda }\}}_{\lambda \in \Lambda }$で生成されることを意味する.