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松村可換環論演習問題 7.1~7.3

以下, 単位的可換環を単に可換環とよぶ. また, 環$A$上の加群$M$が平坦であることを$A$平坦であるという.

問 7.1

$B$が忠実平坦な$A$代数なら, $A$加群$M$に対し
$$ B \otimes_A M \text{ が $B$ 平坦（忠実平坦）} \iff M \text{ が $A$ 平坦（忠実平坦）} $$

($\Rightarrow$) $\mathscr{S}$を$A$加群の系列とする. $\mathscr S$が完全であるとき, $B$は$A$平坦だから$\mathscr{S} \otimes_A B$は完全であり, $B \otimes_A M$は仮定により$B$平坦だから$\mathscr{S} \otimes_A B \otimes_B B \otimes_A M = \mathscr{S} \otimes_A B \otimes_A M = \mathscr{S} \otimes_A M \otimes_A B$も完全である. よって, $B$は忠実平坦だから$\mathscr{S} \otimes_A M$は完全であり, $M$が$A$平坦であることが従う. $B \otimes_A M$が$B$忠実平坦で$\mathscr{S} \otimes_A M$が完全列なら, $\mathscr{S} \otimes_A M \otimes_B B = \mathscr{S} \otimes_A B \otimes_B M$で, $B$は$A$忠実平坦だから$\mathscr{S} \otimes_A B \otimes_B M \otimes_A B$は完全である. ゆえに, 仮定により$\mathscr{S}$は完全だから$M$は忠実平坦である.

($\Leftarrow$) $\mathscr{S}$を$B$加群の系列とする. $\mathscr{S}$が完全で$M$が$A$平坦だとすると, $\mathscr{S} \otimes_B B \otimes_A M = \mathscr{S} \otimes_A M$であり, 仮定により$M$は平坦だから$\mathscr{S} \otimes_B B \otimes_A M$は完全. ゆえに$B \otimes_A M$は$B$平坦である. 一方$\mathscr{S} \otimes_B B \otimes_A M$が完全で$M$が$A$忠実平坦ならば$\mathscr{S} \otimes_B B \otimes_A M = \mathscr{S} \otimes_A M$だから$\mathscr{S}$は完全である.

問 7.2

$A, B$を整域, $A \subseteq B$とし, $A$と$B$の商体が等しいとするとき, $B$が$A$上忠実平坦ならば$A = B$である.

$b = a / s \in B\ (a, s \in A)$とするとき, $sb = a \in sB \cap A = sA$だから$b \in A$. ($sB \cap A = sA$であることは, 松村Mats定理7.5から従う)

問 7.3

$B$が忠実平坦な$A$代数, $M$が$A$加群なら$M \subseteq B \otimes_A M$とみなせる (松村Mats定理7.5). このとき, $B \otimes_A M$の部分集合$\set{1 \otimes m_\lambda}_{\lambda \in \varLambda}$が$B$上$B \otimes_A M$を生成すれば, $M$の部分集合$\set{m_\lambda}_{\lambda \in \varLambda}$は$A$上に$M$を生成する.

仮定により, 系列$B^{\oplus \varLambda} \stackrel{\varphi}{\to} B \otimes_A M \to 0\ (\varphi(b_\lambda) = \sum_{\lambda \in \varLambda} b_\lambda \otimes m_\lambda)$は完全である. また, $B^{\oplus \varLambda} \simeq B \otimes_A A^{\oplus \varLambda}$で$\varphi = \mathrm{id}_B \otimes \psi \quad (\psi \colon A^{\oplus \varLambda} \to M, (a_\lambda)_{\lambda \in \varLambda} \mapsto \sum_{\lambda \in \varLambda} a_\lambda m_\lambda)$と思えるから, 仮定により$A^{\oplus \varLambda} \stackrel{\psi}{\to} M \to 0$は完全であり, これは$M$が$A$上$\set{m_\lambda}_{\lambda \in \varLambda}$で生成されることを意味する.