頂き物の積分

\begin{align*} I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x^2)}{(1+x)(1+x^2)}dx \end{align*}

初手、対数を微分、それ以外を積分することにして部分積分です。
「それ以外」の積分は計算してしまいましょう。
\begin{align*} \int\frac{1}{(1+x)(1+x^2)}dx&=\int\frac{1}{2}\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{4}\frac{2x}{1+x^2}+\frac{1}{2}\frac{1}{1+x}dx\\ &=\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}-\frac{1}{4}\ln(1+x^2)+\frac{1}{2}\ln|1+x|+C \end{align*}
では部分積分をします。
\begin{align*} I&=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x^2)}{(1+x)(1+x^2)}dx\\ &=\left[\ln(1+x^2)\left\{\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}-\frac{1}{4}\ln(1+x^2)+\frac{1}{2}\ln|1+x|\right\}\right]_{0}^{1}\\ &\quad-2\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2}\left\{\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}-\frac{1}{4}\ln(1+x^2)+\frac{1}{2}\ln|1+x|\right\}dx\\ &=\frac{1}{4}\ln^2{2}+\frac{\pi}{8}\ln{2}-\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2}\tan^{-1}{x}dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2}\ln(1+x^2)dx-\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2}\ln(1+x)dx\\ &=\frac{1}{4}\ln^2{2}+\frac{\pi}{8}\ln{2}+I_1+I_2+I_3 \end{align*}
さて結構式が長くなりましたね。積分を三つに分けてそれぞれを計算していきましょう。まずは$I_1$から。
$\tan^{-1}{x}$を微分、それ以外を積分するとして部分積分をします。
\begin{align*} I_1&=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{2x}{1+x^2}\tan^{-1}{x}dx\\ &=-\frac{1}{2}\left[\ln(1+x^2)\tan^{-1}{x}\right]_{0}^{1}+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}dx \end{align*}
$x=\tan{\theta}$と置換すると、
\begin{align*} I_1&=-\frac{\pi}{8}\ln{2}-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln(\cos{\theta})d\theta \end{align*}
出てきた$\ln(\cos{\theta})$の積分は僕の出したこちらの 記事 で計算しているので既知のものとします。
\begin{align*} I_1&=-\frac{\pi}{8}\ln{2}-\left(\frac{1}{2}\beta(2)-\frac{\pi}{4}\ln{2}\right)\\ &=\frac{\pi}{8}\ln{2}-\frac{1}{2}\beta(2) \end{align*}
ただし、$\beta(s)$はディリクレのベータ関数です。
次！$I_2$
\begin{align*} I_2&=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2}\ln(1+x^2)dx \end{align*}
これは楽勝ですね。$x^2=u$とすると
\begin{align*} I_2&=\frac{1}{4}\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+u)}{1+u}du\\ &=\frac{1}{8}\left[\ln^2|1+u|\right]_{0}^{1}\\ &=\frac{1}{8}\ln^2{2} \end{align*}
さて、いちばん辛いのは最後の$I_3$です。$I_3$に対して次のようなパラメータを設定します。
\begin{align*} I_3(s)&=\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2}\ln(1+sx)dx \end{align*}
(これの$s=1$が求めたい$I_3$です)
両辺を$s$で偏微分すると
\begin{align*} I_3'(s)&=\frac{\partial}{\partial s}\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2}\ln(1+sx)dx\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\partial}{\partial s}\frac{x}{1+x^2}\ln(1+sx)dx\\ &=\int_{0}^{1}\frac{x^2}{(1+x^2)(1+sx)}dx \end{align*}
部分分数分解すると
\begin{align*} I_3'(s)&=\int_{0}^{1}\frac{s}{1+s^2}\frac{x}{1+x^2}-\frac{1}{1+s^2}\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+s^2}\frac{1}{1+sx}dx\\ &=\left[\frac{1}{2}\frac{s}{1+s^2}\ln(1+x^2)-\frac{1}{1+s^2}\tan^{-1}{x}+\frac{1}{s(1+s^2)}\ln|1+sx|\right]_{0}^{1}\\ &=\frac{1}{2}\ln{2}\frac{s}{1+s^2}-\frac{\pi}{4}\frac{1}{1+s^2}+\frac{\ln(1+s)}{s(1+s^2)} \end{align*}
さて、突然ですが$I_3(0)=0$ですので次が成り立ちます。
\begin{align*} I_3&=\int_{0}^{1}I_3'(s)ds\\ &=\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\ln{2}\frac{s}{1+s^2}-\frac{\pi}{4}\frac{1}{1+s^2}+\frac{\ln(1+s)}{s(1+s^2)}ds \end{align*}
また、積分を三つに分けてやりましょう。まず一項目から。
\begin{align*} \int_{0}^{1}\frac{1}{2}\ln{2}\frac{s}{1+s^2}ds&=\frac{1}{4}\ln{2}\int_{0}^{1}\frac{2s}{1+s^2}ds\\ &=\frac{1}{4}\ln{2}\left[\ln(1+s^2)\right]_{0}^{1}\\ &=\frac{1}{4}\ln^2{2} \end{align*}
次！
\begin{align*} \int_{0}^{1}-\frac{\pi}{4}\frac{1}{1+s^2}ds&=-\frac{\pi}{4}\left[\tan^{-1}{s}\right]_{0}^{1}\\ &=-\frac{\pi^2}{16} \end{align*}
最後！
\begin{align*} \int_{0}^{1}\frac{\ln(1+s)}{s(1+s^2)}ds&=\int_{0}^{1}\ln(1+s)\left(\frac{1}{s}-\frac{s}{1+s^2}\right)ds\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+s)}{s}ds-\int_{0}^{1}\frac{s}{1+s^2}\ln(1+s)ds \end{align*}
あら、なんと二項目は$I_3$そのものです。よって、
\begin{align*} \int_{0}^{1}\frac{\ln(1+s)}{s(1+s^2)}ds&=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+s)}{s}ds-I_3 \end{align*}
一項目の積分は$\ln(1+s)$をマクローリン展開することで解くことができます。
\begin{align*} \int_{0}^{1}\frac{\ln(1+s)}{s(1+s^2)}ds&=\int_{0}^{1}\frac{1}{s}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}s^kds-I_3 \end{align*}
ここで、$\displaystyle\sum$と$\displaystyle\int$を入れ替えます。本当は一様収束するかの議論が必要ですが、この記事を書いている人が未熟なのでできません。ここでは入れ替えてもよいことを認めて計算を続けます。
\begin{align*} \int_{0}^{1}\frac{\ln(1+s)}{s(1+s^2)}ds&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\int_{0}^{1}s^{k-1}ds-I_3\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}-I_3\\ &=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}-I_3\\ &=\frac{\pi^2}{12}-I_3 \end{align*}
よって、
\begin{align*} I_3&=\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\ln{2}\frac{s}{1+s^2}-\frac{\pi}{4}\frac{1}{1+s^2}+\frac{\ln(1+s)}{s(1+s^2)}ds\\ &=\frac{1}{4}\ln^2{2}-\frac{\pi^2}{16}+\frac{\pi^2}{12}-I_3\\ \therefore I_3&=\frac{1}{8}\ln^2{2}+\frac{\pi^2}{96} \end{align*}
やりましたね！これで求めるべき積分が求まりました！
\begin{align*} I&=\frac{1}{4}\ln^2{2}+\frac{\pi}{8}\ln{2}+I_1+I_2+I_3 \end{align*}
だったため、得た結果を代入すると
\begin{align*} I&=\frac{1}{4}\ln^2{2}+\frac{\pi}{4}\ln{2}-\frac{\pi^2}{96}-\frac{1}{2}\beta(2) \end{align*}
よってェ！！
\begin{align*} I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x^2)}{(1+x)(1+x^2)}dx&=\frac{1}{4}\ln^2{2}+\frac{\pi}{4}\ln{2}-\frac{\pi^2}{96}-\frac{1}{2}\beta(2) \end{align*}
やったね！