自然数と実数の動的対応について

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無限の数学 カントールの対角線論法破れたり!!!「後出し」は実数の専売特許にあらず 「実数は自然数よりはるかに多い」は間違ってますよ( T Д T)ノ

の情報量が多すぎたので、方法1だけ

＊方法1＊「『後出し』は実数の専売特許にあらず」

まず、すべての自然数と、異なる実数を無限に並べたもの、とを対応させるのだが、それは、異なる実数を無限に並べた「第一列」の「一番目」の実数を「1・1」とすると、

1→1・1
2→1・2
3→1・3
・
・
・

と表すことができる。これはいわゆる「すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させたと仮定したもの」であり、対角線論法によってこの表には存在しない実数を作れることから、仮定は間違い＝「実数は自然数より多い」という結論になるのが従来の話である。しかしこれは、自然数を対応させる対象を「第一列」に限定したことによる間違った結論だ。

対角線上の数字のずらし方は、すべて一つずらす1111…の他に、1211…,1234…,2624…と無限にあるので、一つの対角線から、「第一列」には存在しない実数を無限に生み出すことができる。対角線論法によって生み出された無限の実数を並べた「第二列」に自然数を対応させることができなければ先の結論は正しいことになるが、そんなことは全然なく、「第二列」の「一番目」の実数を「2・1」とすると、

1→1・1
2→2・1
3→1・2
4→2・2
5→1・3
6→2・3
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・
・

のように、始めの、自然数と「第一列」の対応を解消した後、あらためて自然数を、「第一列」と「第二列」に、交互に対応させればいいだけの話なのだ。で、これは、「第一列」と「第二列」を合わせて「新たな第一列」にした(＝始めの状態にリセットした)ということであり、この「新たな第一列＝N1」の対角線から、対角線論法によって「新たな第二列＝N2」が生まれるので、そしたらまたそれまでの対応を解消して

1→N1・1
2→N2・1
3→N1・2
4→N2・2
5→N1・3
6→N2・3
・
・
・

と、自然数を「新たな第一列」と「新たな第二列」に交互に対応させ、これを無限に繰り返せばいいのである。自然数を、「新たな第二列」の実数に、無限に対応させ続けることができるということは、すなわち両者の個数は同じということなのである。

それにしても、無限に生み出される「新たな第一列」と「新たな第二列」は合わせて「新たな第一列」にできるのに、なぜ始めから一列に並べることができないのか。

方法1を別の言い方でまとめると、まず

1→1・1
2→1・2
3→1・3
・
・
・

のように、すべての自然数と、異なる実数を無限に並べたもの、とを対応させるところから始めて、次に

1→1・1
2→　　←2・1
3→1・2
4→　　←2・2
5→1・3
6→　　←2・3
・
・
・

と、「第二列」の実数を「第一列」に割り込ませて、始めの、すべての自然数と、異なる実数を無限に並べたもの、とを対応させた状態

1→1・1
2→2・1
3→1・2
4→2・2
5→1・3
6→2・3
・
・
・
↓
1→1・1(1・1)
2→1・2(2・1)
3→1・3(1・2)
4→1・4(2・2)
5→1・5(1・3)
6→1・6(2・3)
・
・
・

にリセットして、そしたらまた

1→1・1
2→　　←2・1
3→1・2
4→　　←2・2
5→1・3
6→　　←2・3
・
・
・

と、「第二列」の実数を「第一列」に割り込ませて…とこれを無限に繰り返す、といった具合に説明することができる。

要するに、実数が対角線論法という後出しをするなら、自然数の方も対応し直しという後出しをするぞという話で、対角線論法で、表にない実数を1個作っただけで、「実数の方が多い」という結論にはならないということ。

実数同士間に全単射写像が存在しないことの証明

1.すべての実数とすべての実数を1対1に対応させることができると仮定する

2.対角線論法により、対応表に存在しない実数が存在するから仮定は誤り

「すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させることができる」という仮定において対角線論法が言えることは、「実数の方が多い」ではなく、「実数は、対応表に、原理的に一部しか提出できない」であり、実数は一部しか出さないのになぜ自然数の方はすべて出さなければならないのか。

「全単射写像が存在する場合のみ両集合の大きさは等しい」という定義を無視して、もしも実数同士の場合に、

N2・1　　1・1→1・1　　N2・1
N2・2　　2・1→2・1　　N2・2
N2・3　　1・2→1・2　　N2・3
N2・4　　2・2→2・2　　N2・4
・
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・

のように「両方に対応表に存在しない実数があるからそれぞれの個数は等しい」と言うなら、自然数と実数の場合も、

2　　1→1・1　　N2・1
4　　3→2・1　　N2・2
6　　5→1・2　　N2・3
8　　7→2・2　　N2・4
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・

というように、偶数を対応表に提出しなければ「両方に対応表に存在しないものがあるからそれぞれの個数は等しい」と言えることになる。

補足(他のサイトでのやり取り)

1.すべての実数とすべての実数を1対1に対応させることができると仮定する

例
3.141592…→3.141592…
1.414213…→1.414213…
6.661922…→6.661922…
5.138924…→5.138924…
2.901877…→2.901877…
0.222555…→0.222555…
・
・
・

2.対角線論法により、対応表に存在しない実数、例えば0.222086…(この実数をどうやって作ったかわかる方だけ回答してください)が存在するから仮定は誤り

これだと実数同士間に全単射写像が存在しないことになって、実際には実数同士間に全単射写像が存在することと矛盾するから、この論理展開は間違ってますよね。とすると、

3.すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させることができると仮定する
4.対角線論法により、対応表に存在しない実数が存在するから仮定は誤り

からも、「自然数と実数の間に全単射写像が存在しない」という結論を導くことはできないですよね。

に、「全ての実数 x を →x に対応させたのならば、0.222086… は 0.222086… に対応してるでしょ。」と回答された方がいらっしゃるのですが、それでいいなら「すべての実数をすべての自然数に1対1に対応させた」で済みますよね。

そもそも「すべての実数の集合」って存在するんですか。

「すべての実数の集合が存在しないことの証明」

1.すべての実数の集合が存在すると仮定する
2.その集合の元を並べると、対角線論法により、その集合に含まれない実数が現れるから仮定は誤り。

「0.222086… は 0.222086… に対応してる」つまり

0.222086…→　　　　　　　　←0.222086…
　　　　3.141592…→3.141592…
　　　　1.414213…→1.414213…
　　　　6.661922…→6.661922…
　　　　5.138924…→5.138924…
　　　　2.901877…→2.901877…
　　　　0.222555…→0.222555…
　　　　・
　　　　・
　　　　・

というように、対角線論法で作った実数同士を、0.222086…の次は7.355038…同士、次は…というように「対応させ続けられるから」「実数同士間には全単射写像が存在する」と言えるなら同様に

1→　　　　　　←0.222086…　　　←7.355038…
2→3.141592…
3→1.414213…
4→6.661922…
5→5.138924…
6→2.901877…
7→0.222555…
・
・
・

というように、対角線論法で作った実数は、元の対応をずらして、自然数とも対応させ続けられるので、自然数と実数の間にも全単射写像が存在しますよね。その方は自然数と実数の対応の場合は「未対応の実数が残るから全単射にはならない」ともおっしゃってたのですが、「未対応の実数が残る」のは実数同士の対応でも同じですよね。