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オイラー線と根心の関係の一般化

$\triangle{ABC}$と内部の点$P$について，
$P$のチェバ三角形を$\triangle{DEF}$とし，
$R_A,R_B,R_C$を次を満たす正の実数とする．
$R_B:R_C=AE:AF,R_C:R_A=BF:BD,R_A:R_B=CD:CE$

$D,E,F$を中心とし半径を$R_A,R_B,R_C$とする円$K_A,K_B,K_C$をとる．
$\triangle{DEF}$の外心を$O$,$P$の等長共役点を重心に関して$-\frac{1}{2}$倍に相似拡大した点を$Q$とする．
$K_A,K_B,K_C$の根心は$OQ$上にある．

これを証明するために，いくつかの命題を証明しよう．

$K_A$と$BC$の交点のうち,$B$側にあるものを$A_b$,$C$側にあるものを$A_c$とする．
また，同様に$B_c,B_a,C_a,C_b$を定める．
$EF\parallel B_aC_a\parallel B_cC_b$等が成立する．

$R_A,R_B,R_C$の定義から
$AE:AF=EB_a:FC_a=EB_c:FC_b$
よって$AE:AF=AB_a:AC_a=AB_c:FC_b$から平行が示される．

$EF,FD,DE$の中点を$M_a,M_b,M_c$とする．
$AM_a,BM_b,CM_c$は$Q$を通る．

重心座標

$\triangle{ABC}$を基準三角形とする重心座標を用いる．
$P=(u:v:w)$とおくと，$D=(0:v:w),E=(u:0:w),F=(u:v:0)$となる．
$Q=(u(v+w):v(w+u):w(u+v))$,$M_a=(u(2u+v+w):v(u+w):w(u+v))$
と計算できるため，$A,M_a,Q$は共線．

$B_aC_b,C_aB_c$の交点を$A_1$とし，同様に$B_1,C_1$を定める．
$M_aA_1$は$Q$を通る．

$AM_a$は$B_aC_a$,$B_cC_b$を二等分する．この点を$M,N$とする.
$B_aC_a\parallel B_cC_b$であったから，$MN$は$A_1$を通る．
よって，命題3と合わせて，$M_a,A_1,Q$は共線．

$\triangle{DEF}$と$\triangle{A_1B_1C_1}$は対応する辺が平行である．

$B_aC_aA_cB_cC_bA_b$にパスカルの定理の逆を用いて
この$6$点は同一円錐曲線上にある．
よって$B_aC_aA_bB_cC_bA_c$にパスカルの定理を用いて$B_1C_1\parallel EF$を得る．
ほかの辺についても同様．

$\triangle{A_1B_1C_1}$の垂心$T$は，$K_A,K_B,K_C$の根心である．

$EF\perp A_1T$が成立するため，
$A_1$が$K_B,K_C$の根軸上にあることを示せばよい．
$B_aC_b$と$K_C$の$C_b$でない交点を$X$
$C_aB_c$と$K_B$の$B_C$でない交点を$Y$とする．
$\measuredangle{B_aXC_a}=\measuredangle{B_aYC_a}=90^\circ$より，$B_a,C_a,X,Y$は共円．
よってreimの定理より，$C_b,B_c,X,Y$は共円．
根心の存在定理より，$A_1$は$K_B,K_C$の根軸上．

命題1再掲

$\triangle{A_1B_1C_1}$と$\triangle{DEF}$は対応する辺が平行であったから，
$\triangle{A_1B_1C_1}$を$\triangle{M_aM_bM_c}$に移す相似拡大が存在．
$Q$は相似拡大の中心である．
$T,O$はそれぞれの三角形の垂心であるから，
この相似で対応し，$T$は$OQ$上にある．