自然数ℕの冪集合と実数ℝの濃度が等しいことの証明

$|[0,1]|=\left|\mathbb{R}\right|$と$|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=|\mathcal{F}(\mathbb{N},\{0,1\})|$を認める.
[0,1]の元を十進展開する.ただし,0.999,,,=1.000,,,などについては右辺を採用して表示を一意にする.
次に,[0,1]の任意の元に対して$\mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap \mathbb{Z})$の元を対応させる.具体的には1.000,,,には数列{1,0,0,0,,,}を対応させる.
すると,これは[0,1]から$\mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap \mathbb{Z})$への単射になっている.
いま,数列{0,9,9,9,,,}などには逆像が存在しないことに注意する.
そして,$\mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap \mathbb{Z})$から{0,9,9,9,,,}などの右に無限に9が続く数列を除く.これらは,有限小数と同じ個数,すなわち可算個しかないので$\mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap \mathbb{Z})$から除いても濃度は変わらない.
除いた集合を${\mathcal{F}}^{\prime }(\mathbb{N},[0,9]\cap \mathbb{Z})$と表記する.
$|{\mathcal{F}}^{\prime }(\mathbb{N},[0,9]\cap \mathbb{Z})|$$=$$|\mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap \mathbb{Z})|$である.
[0,1]と${\mathcal{F}}^{\prime }(\mathbb{N},[0,9]\cap \mathbb{Z})$には先ほどの対応で全単射が存在する.
以上より,$|[0,1]|=|\mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap \mathbb{Z})|$.
$|\mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap \mathbb{Z})|$$\leqq$$|\mathcal{F}(\mathbb{N},\mathbb{N})|$$\leqq$$|\mathcal{P}(\mathbb{N}\times \mathbb{N})|$$=$$|\mathcal{P}(\mathbb{N})|$
また,$|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=|\mathcal{F}(\mathbb{N},\{0,1\})|$$\leqq |\mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap \mathbb{Z})|$
したがって,$|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=|[0,1]|=\left|\mathbb{R}\right|$