自然数ℕの冪集合と実数ℝの濃度が等しいことの証明
どうも,∃数学徒です.自分の検索能力では見つけられなかっただけで既知だと思いますが最近思いついたので紹介します.
ご指摘があれば遠慮なくお願いします.
この記事では,以下の記号を使います.
$\normalsize{A}$を集合としたとき,$\left| A \right|$で$\normalsize{A}$の濃度を表す.
また,$\mathcal{P}(A)$で$\normalsize{A}$の冪集合を表す.
$\normalsize{A},\normalsize{B}$を集合としたとき,$\mathcal{F}(A,B)$を$\normalsize{A}$から$\normalsize{B}$への写像の全体の集合とする.
[0,1]で閉区間を表す.
$\left| \mathcal{P}(\mathbb{N} )\right| = \left| \mathbb{R} \right|$
$\left| [0,1] \right| = \left| \mathbb{R} \right|$と$\left| \mathcal{P}(\mathbb{N}) \right| = \left| \mathcal{F}(\mathbb{N}, \lbrace 0,1 \rbrace ) \right|$を認める.
[0,1]の元を十進展開する.ただし,0.999,,,=1.000,,,などについては右辺を採用して表示を一意にする.
次に,[0,1]の任意の元に対して$\mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap\mathbb{Z})$の元を対応させる.具体的には1.000,,,には数列{1,0,0,0,,,}を対応させる.
すると,これは[0,1]から$\mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap\mathbb{Z})$への単射になっている.
いま,数列{0,9,9,9,,,}などには逆像が存在しないことに注意する.
そして,$\mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap\mathbb{Z})$から{0,9,9,9,,,}などの右に無限に9が続く数列を除く.これらは,有限小数と同じ個数,すなわち可算個しかないので$\mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap\mathbb{Z})$から除いても濃度は変わらない.
除いた集合を$\mathcal{F’}(\mathbb{N},[0,9]\cap\mathbb{Z})$と表記する.
$\left|\mathcal{F’}(\mathbb{N},[0,9]\cap\mathbb{Z})\right|$$=$$\left|\mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap\mathbb{Z})\right|$である.
[0,1]と$\mathcal{F’}(\mathbb{N},[0,9]\cap\mathbb{Z})$には先ほどの対応で全単射が存在する.
以上より,$\left| [0,1] \right| = \left| \mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap\mathbb{Z}) \right|$.
$\left| \mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap\mathbb{Z}) \right|$$\leqq$$\left| \mathcal{F}(\mathbb{N},\mathbb{N}) \right|$$\leqq$$\left| \mathcal{P}(\mathbb{N}×\mathbb{N}) \right|$$=$$\left| \mathcal{P}(\mathbb{N}) \right|$
また,$\left| \mathcal{P}(\mathbb{N}) \right| = \left| \mathcal{F}(\mathbb{N}, \lbrace 0,1 \rbrace )\right| $$\leqq \left| \mathcal{F}(\mathbb{N},[0,9]\cap\mathbb{Z}) \right|$
したがって,$\left| \mathcal{P}(\mathbb{N}) \right| = \left| [0,1] \right| = \left| \mathbb{R} \right|$
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