イデアルの対応定理
イデアルの対応定理の主張と例
$A,B$を可換環，$f\c A\to B$を環準同型とする．
(1) $I\sub B$がイデアルのとき，$f^{-1}(I)$はイデアル．
(2) $I\sub A$がイデアルのとき，$f$が全射なら$f(I)$はイデアル．
- 部分群の逆像は部分群なので加法について閉じている．また$a\in A,x\in f^{-1}(I)$に対して，
$$f(ax)=f(a)f(x)\in I\ (\because f(x)\in I)$$
より$ax\in f^{-1}(I)$． - 部分群の像は部分群なので加法について閉じている．$b\in B,y\in f(I)$とする．このとき$\ex x\in I,y=f(x)$であり，また$f$の全射性から$\ex a\in A,b=f(a)$なので
$$by=f(a)f(x)=f(ax)\in f(I)$$
(2)では全射性が必要であることに注意．例えば，
$$f\c \Z\to\Z^2,\;n\mapsto (n,n)$$
は環準同型だが$f(\Z)=\Delta_\Z$は$\Z^2$のイデアルでない．
$A$を可換環，$I\subset A$を真のイデアルとし，$\pi:A\to A/I$を自然な射影とする．
\begin{align}
\mathcal{X}&=\{J\subset A\mid J\text{ is ideal},\ I\subset J\}\\
\mathcal{Y}&=\{\overline{J}\subset A/I\mid \ov{J}\text{ is ideal}\}
\end{align}
とすると，
\begin{align}
&\Phi\c \X\to\Y,\;J\mapsto \pi(J)\\
&\Psi\c \Y\to\X,\;\ov{J}\mapsto \pi^{-1}(\ov{J})
\end{align}
は互いに逆写像であり，$\X$と$\Y$は一対一に対応する．
well-defined性
- $\pi$は全射準同型なので$\pi(J)$はイデアルであるから$\Phi(J)\in\Y$．
- $\pi^{-1}(\ov{J})$はイデアルである．また，
$$\pi(I)=\{\ov{0}\}\sub\ov{J}$$
なので$I\sub\pi^{-1}(\ov{J})$であるから$\Psi(J)\in\X$．
$\Psi\circ\Phi=\id$
$J\in\X$とする．
\begin{align}
\Psi\circ\Phi(J)
&=\pi^{-1}(\pi(J))\\
&=\{x\in A\mid \pi(x)\in\pi(J)\}\\
&=\{x\in A\mid \ex j\in J,\pi(x)=\pi(j)\}\\
&=\{x\in A\mid \ex j\in J,x-j\in I\}\\
&=\{x\in A\mid x\in J\}\\
&=J
\end{align}
集合論的に$\sub$が非自明であることに注意．下から2つ目の$=$では$I\subset J\subset A$を用いた．
（$x\in j+I\sub j+J=J$）
$\Phi\circ\Psi=\id$
まず$\ov{J}\in\Y$とする．集合論的に
$$\Phi\circ\Psi(\ov{J})=\pi(\pi^{-1}(\ov{J}))=\ov{J}$$
がわかる．以上より$\Phi$と$\Psi$が逆対応であることを得る．
対応定理に現れる$\pi(J)$について$\pi(J)=J/I$である．但し$J/I\sub A/I$とみなせること，$J/I$は環ではなく剰余群であることに注意．
$A=\Z,I=6\Z,J=3\Z$とする．
$\pi(3\Z)=\{6\Z,3+6\Z\}={3\Z}/{6\Z}$
$A=\Z,I=6\Z$とする．$\Z/6\Z$のイデアル全体は$\Z$のイデアルであって$6\Z$を包むものの全体と対応する．$6\Z$を包むイデアルは$6$の約数を考えることで，$\Z,2\Z,3\Z,6\Z$がある．それぞれ，
$$\Z/6\Z,\ 2\Z/6\Z=\{6\Z,2+6\Z,4+6\Z\},\ 3\Z/6\Z=\{6\Z,3+6\Z\},\ (0)$$
が対応する．
素イデアル・極大イデアルの対応
イデアルの対応定理の対応は素性，極大性を保つ．つまり，$I\subset J$のとき，
(1) $J$が素イデアル$\iff J/I$が素イデアル
(2) $J$が極大イデアル$\iff J/I$が極大イデアル
素イデアルの対応
$(\too)$ $J$が素イデアルとし，$(a+I)(b+I)\in J/I$とする．このとき$ab\in J$で，$J$が素より$a\in J$または$b\in J$．従って，
$a+I\in J/I$または$b+I\in J/I$
ゆえに$J/I$は素イデアル．
$(\oot)$ 逆に$J/I$が素イデアルとし，$ab\in J$とする．このとき$(a+I)(b+I)\in J/I$で，$J/I$が素より，
$a+I\in J/I$または$b+I\in J/I$
従って$a\in J$または$b\in J$．ゆえに$J$は素．
極大イデアルの対応
$(\too)$ $J$が極大とする．もし$A/I$のイデアル$L$が
$J/I\subsetneq L\subsetneq A/I$
なら逆像をとって，
$J\subsetneq\pi^{-1}(L)\subsetneq A$
となり$J$の極大性に反する．よって$J/I$は極大．
$(\oot)$同様に示せる．
これから次の重要な命題を得る．
$I\sub A$を真のイデアルとする．
(1) $I$が素イデアル$\iff A/I$が整域
(2) $I$が極大イデアル$\iff A/I$が体
- $I\sub A$が素イデアル
$\iff$$(0)=I/I\sub A/I$が素イデアル
$\iff$$A/I$が整域 - $I\sub A$が極大イデアル
$\iff$$(0)=I/I\sub A/I$が極大イデアル
$\iff A/I$の真のイデアルは$(0)$のみ
$\iff A/I$が体
一般に可換環$B$において，
- $B$が整域$\iff$$(0)\sub B$が素イデアル
- $B$が体$\iff$$B$のイデアルは$B$と$(0)$のみ
に注意．
この定理から極大イデアルは素イデアルであることがわかる．
終わり
イデアルの対応定理はあまり触れたことがない定理だったので簡単にまとめてみました．極大イデアルが素イデアルであることくらいしか内容を盛り込めなかったので何か新しい知見があれば追記したいと思います．
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