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大学数学基礎解説
文献あり

n次元閉円盤の境界を一点につぶして得られる空間とn次元球面が同相であることの証明

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今回はトポロジーで重要な例である、次の事実を証明します。

n次元閉円盤の境界を一点につぶして得られる空間とn次元球面は同相

nを自然数、Dnn次元閉円盤、Snn次元球面とする。
このとき、Dn/DnSnである。

方針としては、適当な連続写像φ:DnSnであって、Dn/φ=Dn/Dnかつ同相写像φ~:Dn/DnSnをひきおこすようなものを構成すればよい。以下、n=2の場合を考える。一般のnの場合もn=2の場合と同様である。
この証明において、最も難しいのは上で述べたような連続写像φの構成である。φの作り方は様々な方法が考えられるが、ここではそのうちの一つを詳しく説明する。
まず、φD2=S1を一点につぶすような連続写像になっていなければならない。
そこで、S2の北極をN=(0,0,1)、南極をS=(0,0,1)とおき、
φ(D2)={N}となるようにする。つまり、D2S2の北極点につぶす。
このことを踏まえて、φを、「D2の内部のうち、半径1/2以下の部分をS2の南半球に写し、半径1/2以上の部分をS2の北半球に写す」というように定義しよう。特に、φ(0,0)=Sとなるようにする。このようなφは、次のように定義できる。

φ(x,y)={(2x,2y,14(x2+y2))(0x2+y21/4)(α(x,y)x,α(x,y)y,1α(x,y)2(x2+y2))(1/4x2+y21)
ただし、α(x,y)=44x2+y2とする。これは、x2+y2=1/4のときwell-definedである。

このφの定義は一見複雑で、最初は思い付くのは難しそうに見える。しかし、実際には突然天から降ってきた定義などではなく、上の「」内に書いたような写像を作るために試行錯誤して得られたものである。この試行錯誤こそが、腕の見せ所である。そこで、次にどのようにしてφを作ったのかを説明する。

(x,y)D2を固定する。r=x2+y2とおく。重要なのは、D2の点は原点からの方向及び半径の大きさで決まり、S2の点はz軸を中心とする方位角及びxy平面からの高さzで決まるという所である。
連続写像!FORMULA[42][1017910466][0]の作り方 連続写像φの作り方
そこで、まずφ(x,y)=(X,Y,z)の方向(方位角)は、点(x,y)から変えないことにする。つまり、φは原点まわりの回転について対称に定める。これより、ある実数αを用いて、(X,Y)=(αx,αy)となる。ただし、α(x,y)に依存する量であるから、α=α(x,y)である。

あとは、高さzを決めればよいが、z=±1α2(x2+y2)より、αを決めればzも決まってしまう。そこで、以下αを決定する。

  • 0r=x2+y21/2のとき:r=0なら、(x,y)=(0,0)よりαがどんな値でも(X,Y)=(0,0)なので、α(0,0)=2とする。r=1/2のとき、D2内の半径1/2の円はS2の赤道に移るようにしたいので、このときα(x,y)=2とする。以上より、0r1/2の場合には、α(x,y)2と定める。
  • 1/2r=x2+y21のとき:r=1/2のときは上と同じ。r=1なら、D2S2の北極に移るようにしたいので、このときα(x,y)=0とする。したがって、この場合にはrα平面の線分を考えて、α=4r+4=44x2+y2と定める。


特にαは、原点からの方向を固定して、点(x,y)の長さrに依存して決まるものとして定めていることに注意する。
以上より、上のφの定義を得る。φは、それぞれが連続写像の合成からなることと、貼り合わせの補題より連続である。また、写像の作り方より、φは全射である。さらに、xφy(φ(x)=φ(y))を写像φが定める同値関係とすれば、写像の作り方よりφD2を一点に写すので、D2/φ=D2/D2であることが確かめられる。よって、φは連続全単射φ~:D2/D2S2をひきおこす。
ここで、S2はハウスドルフ空間であり、D2/D2はコンパクト空間D2の自然な連続全射による像なのでコンパクトである。コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続写像は閉写像であるから、φ~は同相写像である。

よって、D2/D2S2である。(証明終)

Note

定理1の別の証明としては、例えば次のようなものが考えられる。
Rnの一点コンパクト化空間と、Snが同相であることはよく知られている(←立体射影を使う)。そこで、代わりにDn/DnRn{}をいえばよい。連続写像φ:DnRn{}を次のように定義する。
φ(x)={x1x(x<1)(x=1)
これは、開円盤DnDnRnに写し、Dnを一点に写すという写像である。あとは、定理1の証明と同様であるが、φの連続性はこの場合自明ではないので注意する必要がある。特に、Dn上での連続性が自明でないが、これは、Rnの一点コンパクト化位相に基づいて簡単に確かめられる(check!)。


今回は、これで終わります。お疲れ様でした。

参考文献

投稿日:20231027
更新日:20231110
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