y=(1-xⁿ)¹ᐟⁿの第一象限部分の面積
初めまして。高校一年生の開平法翁という人です。
高校生にもなったし、そろそろMathlog書くべ！と思い始めました。
記念すべき(？)一個目の記事は$x^n+y^n=1$の積分です。早速やっていきましょう
準備
今回使う子たち
実部が0より大きい複素数$s,t$について
$\displaystyle{B(s,t)=\int_{0}^{1}x^{s-1}(1-x)^{t-1}dx}$
$\displaystyle{\Gamma(u)=\int_{0}^{\infty}x^{u-1}e^{-x}dx}$
みんな大好き階乗関数の拡張です。$\frak{R}(u)>$0で収束します。
$\displaystyle{B(s,t)=\frac{\Gamma(s)\Gamma(t)}{\Gamma(s+t)}}$
ベータ関数に部分積分を繰り返すことで導かれます。
では、この子たちを使って積分を解きましょう！
いざ計算！
一応、今回積分するのは$x^n+y^n=1$で、これの第一象限を使います。
$
\begin{align*}
I(n)&=\int_{0}^{1}\sqrt[n]{1-x^n}dx\\
&=\int_{0}^{1}\sqrt[n]{1-t}\cdot\frac{t^{\frac{1}{n}-1}}{n}dt\quad\because x^n=t\\
&=\frac{1}{n}\int_{0}^{1}t^{\frac{1}{n}-1}(1-t)^{\frac{1}{n}+1-1}dt\\
&=\frac{1}{n}B\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}+1\right)\\
&=\frac{1}{n}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)\Gamma\left(\frac{1}{n}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{n}+1\right)}\\
&=\frac{1}{2n}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)^2}{\Gamma\left(\frac{2}{n}\right)}
\end{align*}
$
終わり
一回置換積分するだけでもろに定義通りの形が出てきてくれて楽でしたね！
ちなみに、$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$を用いて$I(2)$を計算すると、しっかり$\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$であることがわかります。
しょぼ！終わり！
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
