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東大数理院試過去問解答例(2023B05)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2021B05の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2023B05

R3の同値関係(x,y,z)(x,y,z)を、ある整数m,n,
(x+,y+m,z+mx+n)=(x,y,z)
を満たすものが存在することとして定義する。ここで商空間X=R3/を考え、π:R3Xを自然な射影遠する。
(1) Xは、πCになるようなC級多様体の構造を持つことを示せ。
(2) R3上の2次形式ω=dxdyを考える。このとき、ω=π(dη)を満たすようなX上の1次形式は存在しないことを示せ。
(3) R3上の2次形式ω=dydzを考える。このとき、ω=π(dη)を満たすようなX上の1次形式ηは存在しないことを示せ。

  1. まずπは局所的に同相であるから、各pR3の充分小さい近傍Upπで送ることでXπ(p)に於ける近傍Vπ(p)が定義できる。ここでp=(xp,yp,zp)に対してq=(xp+,yp+m,zp+mxp+n)とおき、qの近傍Uq:={(x+,y+m,zp+mxp+n)|(x,y,z)Up}をとる。これがC級多様体であることを示すには、π|Uq1π|UpC級であることを示せば良いが、これはUp(x,y,z)(x+,y+m,z+mx+n)で表されるからC級である。またこの座標の下、πは局所的に恒等写像、特にC写像になっている。以上からXπC級にするようなC多様体の構造を持つ。
  2. まずdxdyX上の微分形式の引き戻しとして表される。これもdxdyとする。ここでS=π({z=0})とすると、これはトーラスである。このとき条件を満たすηが存在したとすると、
    Sdxdy=Sdη=Sη
    が成り立つ。しかし右辺はSが境界を持たないから0である一方で、左辺はトーラスの面積に等しいから0でないので矛盾する。よって条件を満たすηは存在しない。
  3. ω=dydzについて
    d(y+1)d(z+x)=dydzdxdydydz
    であるから、これはXの微分形式の引き戻しとして表せない。特に条件を満たすηは存在しない。
投稿日:20231030
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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