n次元球の体積について(仮)

$n$ 次元の体積について

$n$ 次元球の体積を $V_{n} (r)$ ( $r$ は半径)とすると、 $V_{n + 1} (r)$ と $V_{n} (r)$ には何等かの関係性があるのではないか　という事を思いついたのでただただ検証するだけの記事です。
$n$ 次元の球の体積は次のような積分によって求められることを前提として考える

$n$ 次元の球の体積を $V_{n}$ とすると、 $V_{n}$ は次のように与えられる。
$V_{n} = \int_{D} d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n} (D = {(x_{1})^{2} + (x_{2})^{2} + \dots (x_{n})^{2} \leq r^{2} | r \in R_{\geq 0}})$

この積分って、数学Ⅲでやった立体の体積の求め方を応用してあげると、
$V_{n + 1}$ は $V_{n}$ を用いて次のように表される。
$V_{n + 1} = \int_{- r}^{r} V_{n} (\sqrt{r^{2} - x^{2}}) d x$
ただし、 $V_{1} = 2 r$ とする。
この積分方程式が解ける有識者がいたら解法教えてください。
理解を深めるために身近な例( $n = 2$ )を計算して終わろうと思います。
$V_{3} = \int_{- r}^{r} π (r^{2} - x^{2}) d x$
$= {[π r^{2} x - \frac{π x^{3}}{3}]}_{- r}^{r}$
$= \frac{4 π r^{3}}{3}$
皆さんが知っているであろう球の体積の公式と同じ形が出てきたので、うれしいです。