京大数学系院試2003年度専門(代数)解答

環$R$の商体を$Q(R)$と書く．

1. $(1+\sqrt{5})/2\in Q(\mathbb{Z}[\sqrt{5}])$は monic な多項式$X^2-X-1\in \mathbb{Z}[\sqrt{5}][X]$の根なので$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$上整であるが，$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$の元ではない．よって$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$は整閉ではない．
2. ${\alpha }_{\pm }=1\pm \sqrt{p},{\beta }_{\pm }=1\pm \sqrt{q}$として
   $$x_1=\frac{{\alpha }_{+}{\beta }_{+}}{2},x_2=\frac{{\alpha }_{+}{\beta }_{-}}{2},x_3=\frac{{\alpha }_{-}{\beta }_{+}}{2},x_4=\frac{{\alpha }_{-}{\beta }_{-}}{2}$$
   とおく．${\alpha }_{+}+{\alpha }_{-}={\beta }_{+}+{\beta }_{-}=2$より$x_1+x_2={\alpha }_{+},x_3+x_4={\alpha }_{-}$であるから
   $$\begin{array}{rl}\sum _{j=1}^4{x}_j& =\frac{({\alpha }_{+}+{\alpha }_{-})({\beta }_{+}+{\beta }_{-})}{2}=2,\\ \prod _{j=1}^4{x}_j& =\frac{({\alpha }_{+}{\alpha }_{-}{\beta }_{+}{\beta }_{-}{)}^2}{2^4}=(\frac{(1-p)(1-q)}{2^2}{)}^2,\\ \sum _{1\le j<k\le 4}{x}_j{x}_k& =x_1{x}_2+(x_1+x_2)(x_3+x_4)+x_3{x}_4=\frac{{\alpha }_{+}^2(1-q)}{4}+{\alpha }_{+}{\alpha }_{-}+\frac{{\alpha }_{-}^2(1-q)}{4}\\ & =\frac{(1+p)(1-q)}{2}+(1-p)=\frac{3-p-q-pq}{2},\\ \sum _{1\le i<j<k\le 4}{x}_i{x}_j{x}_k& =x_1{x}_2(x_3+x_4)+(x_1+x_2)x_3{x}_4=\frac{{\alpha }_{+}^2(1-q)}{4}{\alpha }_{-}+{\alpha }_{+}\frac{{\alpha }_{-}^2(1-q)}{4}\\ & =\frac{{\alpha }_{+}{\alpha }_{-}(1-q)}{4}({\alpha }_{+}+{\alpha }_{-})=\frac{(1-p)(1-q)}{2}\end{array}$$
   は全て整数である．よって$x_1\in Q(R)$は monic な$R$係数多項式の根なので$R$上整であるが，$R$の元ではない．従って$R$は整閉ではない．

1. $a\in I\setminus \{0\}$を任意に取る．$a$の$Q(R)$上最小多項式を$f(X)=X^n+c_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_0$とする．$A$が整域であることと次数の最小性から$c_0\ne 0$である．$sf(X)\in R[X]$となる$s\in R\setminus \{0\}$が取れる．この時$s{c}_0=-s(a^n+c_{n-1}{a}^{n-1}+\cdots +c_{1}a)\in I$だから$s{c}_0\in I\cap R.$また$A$は整域だから$s{c}_0\ne 0$である．

2. $R=\mathbb{Q},A=\mathbb{Q}[x]$とする．ただし$x$は不定元である．この時$Q(R)=\mathbb{Q},Q(A)=\mathbb{Q}(x)$であり$Q(A)/Q(R)$は超越拡大．また$A$のイデアル$I=(x)$は$I\cap R=\{0\}$を満たす．

3. $Q_1\subset Q_2$であったとする．仮定から$A/Q_1$は$R/P$の整拡大であり，これらは整域である．また$Q_2/Q_1$は$A/Q_1$の素イデアルである．さらに$R\cap Q_1=R\cap Q_2=P$より$(R/P)\cap (Q_2/Q_1)=\{0\}$であるから，(1) より$Q_2/Q_1=\{0\}.$よって$Q_1=Q_2$となって矛盾．