文献あり

斉次イデアルの諸性質(property of the homogeneous ideal)

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次数環(graded ring)

環Aに対して直和分解 $A = \oplus_{i \in N} A_{i}$ が与えられるとき,環Aを次数環という.ここでNは添字集合である.

一変数多項式環 $k [x]$ は $k [x] = \oplus_{i \in N} k x^{i} = k \oplus k x \oplus k x^{2} \oplus . . .$ となり,明らかに次数環として見ることができる.

多項式環 $k [x_{1} . . . k_{n}]$ は単項式 $x_{1}^{l 1} . . . x_{n}^{l_{n}}$ の次数を $l_{1} + . . . + l_{n}$ で定義することにより,次数環として見ることができる.

斉次元（homogenenous element）

ある $i \in N$ が存在して $f \in A_{i}$ を満たす時, $f$ を斉次元という.

斉次元の例

多項式環 $k [x_{1} . . . x_{n}]$ において $x_{1}, x_{2}, . ., x_{n}$ は斉次元であり,その次数は1である.また, $x_{i} x_{j} (0 \leq i, j \leq n)$ は次数2の斉次元である.
$k = R$ としたとき,定数倍した $2 x_{1}$ なども斉次元である.

斉次元でない例

多項式環 $k [x_{1} . . . x_{n}]$ において $1 + x_{1}$ や $x_{1} + x_{1}^{2}$ は斉次元でない.

斉次イデアルの諸性質

以下,次数環として多項式環のみを扱うこととする.また, $S = k [x_{1} . . . k_{n}]$ とし,kは体とする.このとき, $S = \oplus_{d \geq 0} S_{d}$ とかくことにする.ただし, $S_{d}$ は次数 $d$ の元全体の集合である.

斉次イデアル（homogeneous ideal）

イデアル $a$ が次をみたすとき,斉次イデアルという.
$a = \oplus_{d \geq 0} (a \cap S_{d})$

斉次イデアルのポイントは直和の形でかけるということにある.以下の例から斉次イデアルの性質を見ていこう.

斉次イデアルの例

$(x_{1})$ は斉次イデアルになる.実際,任意の $f \in (x_{1})$ に対して, $f = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} x_{i} (d e g (α_{i}) = i)$ とかける.ここで, $d e g (α_{i})$ は $α_{i}$ の次数とする.各 $i \in {1. . . n}$ に対して $α_{i} x_{1} \in (x_{1}) \cap S_{i}$ となる.

直和に慣れている人からしたら当たり前のことであるが,斉次イデアルの元の各項は再び斉次イデアルの元であることが確認できた.このイメージは斉次イデアルを考える上では有用であろう.

斉次イデアルでない例

$(x_{1} + x_{1}^{2})$ は斉次イデアルにはならない.実際, $x_{1} \in (x_{1} + x_{1}^{2}) \cap S_{1}$ であるが $x_{1} \notin (x_{1} + x_{1}^{2})$ となってしまう.

斉次イデアルに定義の特徴付けを与える.

$a$ が斉次イデアルであることは, $a$ が斉次元 $f_{1} . . . f_{l}$ で生成されたイデアルであることと同値である.

( $\Rightarrow$ )対偶を示す.つまり, $a が f_{1} . . . f_{l}$ で生成されたイデアルとし,生成元のうち少なくとも一つは斉次元でないものが取れるとする.斉次元でない生成元として $f_{i}$ を取る.このとき, $f_{i} \cap S_{d} \notin a$ なる $d$ が存在する.もし,そのような $d$ が存在しなければ,基底の和やスカラー倍によって, $f_{i}$ を斉次元に書き換えることができる.実際, $f = \sum_{i = 0}^{d e g (f)} g_{i}$ として,生成元に $g_{i}$ を加えて,整理すれば斉次元のみからなる生成元の集合が作れる.これは仮定に矛盾してしまう.したがって, $a$ は斉次イデアルではない.
( $\Leftarrow$ )生成元の個数 $l$ に関する帰納法を用いる. $l = 1$ のときは,明らか.(例5を参照せよ) $l = k$ のとき,成り立っているとする. $l = k + 1$ のときに成り立っていることを示す. $f \in (f_{1} \dots f_{k + 1})$ を任意にとる.このとき, $f = \sum_{i = 0}^{k + 1} α_{i} f_{i}$ と表せる. $f = \sum_{d \geq 0} g_{d}$ として $g_{d} = \sum_{i = 1}^{k + 1} α_{i d} f_{i}$ となるが,帰納法の仮定から, $\sum_{i = 1}^{k} α_{i d} f_{i} \in (f_{1} \dots f_{k})$ .また,明らかに $α_{(k + 1) d} f_{k + 1} \in (f_{k + 1})$ であるので $g_{d} = \sum_{i = 1}^{k + 1} α_{i d} f_{i} \in (f_{1} \dots f_{k + 1})$ となる.

斉次イデアルの生成元として,斉次元でないものを取ることができる.例えば, $(x_{1}, x_{1} + x_{2}^{2}) = (x_{1}, x_{2}^{2})$ である.つまり,斉次イデアルであることの同値条件は生成元として斉次元がとれる場合があるということである.

斉次元イデアルの和,積,共通部分,根基は再び斉次イデアルになる.

定理1を用いて,生成元に注目すれば証明は容易.

$a$ が素イデアルであることは次と同値である.
$\forall f, g : 斉次元 f g \in a \Rightarrow f \in a o r g \in a$ が成り立つ.

$(\Rightarrow)$ 明らか.
$(\Leftarrow)$
$f g \in a$ を任意に取る.ここで, $f, g$ を斉次元の和として,次のように表せる. $f = \sum_{i = 1}^{d e g f} f_{i}, g = \sum_{j = 1}^{d e g g} g_{j}$ そこで,
$f g = \sum_{d}^{d e g f + d e g g} \sum_{d = i + j} f_{i} g_{j}$ とかける. $a$ は斉次イデアルであるので, $f_{1} g_{1} \in a$ である.仮定から, $f_{1} \notin a, g_{1} \in a$ として良い.次に, $f_{1} g_{2} + f_{2} g_{1} a$ から, $g_{2} \in a$ である.実際, $f_{1} g_{2} \in a$ と仮定から, $g_{2} \in a$ がわかる.このように帰納的に $g_{i} \in a (\forall i \in {1 \dots d e g g})$ がわかる.したがって, $g \in a$ .よって, $a$ は素イデアルになる.