オストロフスキーの定理の証明

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日本語での証明がみあたらなかったので。

準備

以下、単に体といった場合、自明な体を除いて考える。

付値

体 $K$ 上の付値とは、写像 $| \cdot | : K \to R$ であって、次の条件を満たすものである。
(条件)任意の $x, y \in K$ について
$\begin{aligned} (1) & | 0 | = 0 を除いて | x | > 0 \\ (2) & | x | | y | = | x y | \\ (3) & | x + y | \geq | x | + | y | \end{aligned}$

体 $K$ 上の付値 $| \cdot |$ について、 $K$ の乗法単位元を $1_{K}$ とすると $| 1_{K} | = 1$

$| 1_{K} | \cdot | 1_{K} | = | 1_{K} |$ であるが、 $| 1_{K} | \neq 0$ より両辺 $| 1_{K} |^{- 1}$ をかけて
$| 1_{K} | = 1$

通常の絶対値

$Q$ および $R$ 上で、通常の絶対値 $| \cdot |$ は付値となる。これを、他の付値と区別するため $| \cdot |_{\infty}$ とかく。つまり、 $x \in R$ に対して
$\begin{array}{r} | x |_{\infty} := {\begin{cases} x & (x > 0) \\ 0 & (x = 0) \\ - x & (x < 0) \end{cases} \end{array}$

自明な付値

体 $K$ において、 $| \cdot |_{0}$ を
$\begin{array}{r} | x |_{0} = {\begin{cases} 0 & (x = 0) \\ 1 & (x \neq 0) \end{cases} \end{array}$
と定めるとこれは付値となる。これを自明な付値といい、これ以外の付値を非自明な付値という。

p進付値

素数 $p$ に対し、 $| 0 |_{p} = 0$ と定め、 $x \in Q$ が整数 $n$ と既約分数もしくは $p$ と互いに素な整数 $x^{'} \neq 0$ を用いて $x = p^{n} x^{'}$ と表されるとき、
$\begin{array}{r} | x |_{p} = | p^{n} x^{'} |_{p} := p^{- n} \end{array}$
とすると、 $| \cdot |_{p}$ は $Q$ 上の付値となる。これを $p$ 進付値という。

$\frac{48}{5} = 2^{4} \cdot \frac{3}{5}$ より、 ${| \frac{48}{5} |}_{2} = 2^{- 4} = \frac{1}{16}$

付値の同値

$| \cdot |_{α}, | \cdot |_{β}$ を体 $K$ 上の非自明な付値とする。このとき、ある実数 $a > 0$ があって任意の $x \in K$ について
$\begin{array}{r} | x |_{α} = | x |_{β}^{a} \end{array}$
であるとき、 $| \cdot |_{α}, | \cdot |_{β}$ は同値であるという。

$Q$ 上の非自明な付値 $| \cdot |_{α}, | \cdot |_{β}$ について、 $a$ を実数、 $x$ を有理数、 $n$ を2以上の整数とするとき、
$\begin{array}{r} | x |_{α} = | x |_{β}^{a} \Leftrightarrow | n |_{α} = | n |_{β}^{a} \end{array}$
である。つまり、 $| \cdot |_{α}, | \cdot |_{β}$ が同値であることを調べるには2以上の整数について調べれば必要十分である。

$\Rightarrow$ は明らか。よって $\Leftarrow$ について示す。
2以上の整数 $n$ に対して $| n |_{α} = | n |_{β}^{a}$ のとき、一般に $| n | = | - n |, | 1 | = 1$ より $n$ を任意の整数としても $| n |_{α} = | n |_{β}^{a}$ である。よって、任意の有理数 $\frac{p}{q} (q \neq 0)$ に対して $| p |_{α} = | p |_{β}^{a}, | q |_{α} = | q |_{β}^{a}$ であり、 $q \neq 0$ から $| q |_{α}, | q |_{β} \neq 0$ より
$\begin{array}{r} \frac{| p |_{α}}{| q |_{α}} = \frac{| p |_{β}^{a}}{| q |_{β}^{a}} \Leftrightarrow {| \frac{p}{q} |}_{α} = {| \frac{p}{q} |}_{β}^{a} \end{array}$
から、示された。

ベズーの補題(Bézout's lemma)

$a, b$ を0でない整数とし、 $d = gcd (a, b)$ とする。このとき、整数 $x, y$ について
(1) $d$ は $a x + b y$ と表せる最小の正整数であり、
(2) $a x + b y$ の形で表せる整数は全てdの倍数である。

突然の初等整数論ですが、証明の途中でちょこっと使うだけです。

$S = {a x + b y : x, y \in Z}$ とすると、 $u, v \in S$ および整数 $k$ について、 $u - v \in S, k u \in S$ である。ここで、 $h$ を $S$ に含まれる最小の正整数とし、 $S$ の元で $h$ の倍数でないものが存在すると仮定し、それを $m$ とする。このとき、 $m$ は整数 $q, 0 < r < h$ を用いて $m = q h + r$ とおける。しかし、 $r = m - q h$ より $m \in S, q h \in S$ から $r = m - q h \in S$ であるが、 $0 < r < h$ より、これは $h$ が $S$ に含まれる最小の正整数であるという仮定に反し、矛盾。よって、 $S$ の任意の元は $h$ の倍数である。
また、明らかに $a \in S, b \in S$ であるから、 $a, b$ は $h$ の倍数、つまり $h ∣ d$ である。よって $h \leq d$ 。また、 $a = a^{'} d, b = b^{'} d$ とすると $a x + b y = (a^{'} x + b^{'} y) d$ だから、 $S$ の任意の元は $d$ の倍数。 $h \in S$ より、 $h$ も $d$ の倍数だから $h \geq d$ 。故に、 $h = d$ 。

オストロフスキーの定理の証明

オストロフスキーの定理(Ostrowski’s Theorem)

$| \cdot |$ を $Q$ 上の非自明な付値とする。このとき、 $| \cdot |$ は $| \cdot |_{\infty}$ と同値であるか、ある素数 $p$ に対して $| \cdot |_{p}$ と同値である。

まず、任意の $n \in Z_{\geq 1}$ に対して $| n | \leq 1$ のときを考える。 $| \cdot |$ は非自明な付値であり、 $| x | = | - x |$ より、 $| \frac{a}{b} | \neq 1$ なる $a, b \in Z_{\geq 1}$ が存在する。このとき、 $| a | \neq | b |$ であり $| a | \leq 1, | b | \leq 1$ から $a, b$ の少なくともどちらか一方は1未満である。よって、 $| n | < 1, n \in Z_{\geq 1}$ なる $n$ がとれる。このとき、 $n$ は $m$ 個の相異なる素数 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{m}$ と1以上の整数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ を用いて
$\begin{array}{r} n = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \dots p_{m}^{a_{m}} \end{array}$
と素因数分解されるとすると、 $| n | < 1$ より $| p_{i} | < 1$ となるような整数 $1 \leq i \leq m$ が存在する。いま、 $1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq m, i \neq j$ として、 $| p_{i} | < 1, | p_{j} | < 1$ と仮定する。このとき、十分大きな整数 $N$ に対して $| p_{i} |^{N} < \frac{1}{2}, | p_{j} |^{N} < \frac{1}{2}$ であるが、 $p_{i}^{N}$ と $p_{j}^{N}$ は互いに素だからベズーの補題より $s, y \in Z$ であって
$\begin{array}{r} s p_{i}^{N} + t p_{j}^{N} = 1 \end{array}$
を満たす $s, t$ が存在し、 $| p_{i} |^{N} < \frac{1}{2}, | p_{j} |^{N} < \frac{1}{2}, | s | \leq 1, | t | \leq 1$ より
$\begin{array}{r} 1 = | 1 | = | s p_{i}^{N} + t p_{j}^{N} | < | s p_{i}^{N} | + | t p_{j}^{N} | = | s | | p_{i} |^{N} + | t | | p_{j} |^{N} < \frac{| s | + | t |}{2} \leq 1 \end{array}$
となり、 $1 < 1$ より矛盾。よって、ある整数 $1 \leq i \leq m$ のみが $| p_{i} | < 1$ を満たし、 $1 \leq j \leq m, i \neq j$ のとき $p_{j} = 1$ 。したがって、 $| p | = p^{- r}$ を満たす $r > 0$ をとると、 $n \in Z_{\geq 1}$ に対して $n = p^{k} n^{'}, gcd (p, n^{'}) = 1$ を満たす整数 $n^{'}$ があって、
$\begin{array}{r} | n | = | p^{k} n^{'} | = | p |^{k} | n^{'} | = (p^{- r})^{k} = (p^{- k})^{r} = | p^{k} |_{p}^{r} = | p^{k} n^{'} |_{p}^{r} = | n |_{p}^{r} \end{array}$
より、補題2から $| \cdot |$ と $| \cdot |_{p}$ は同値である。
次に、ある $m \in Z_{\geq 2}$ に対して $| m | > 1$ のときを考える。
このとき、 $n \in Z_{\geq 2}$ として、 $0 \leq a_{0}, a_{1}, . . ., a_{r} < n, n^{r} \leq m$ が
$\begin{array}{r} m = \sum_{i = 0}^{r} a_{i} n^{i} \end{array}$
を満たすとする(いわゆる $m$ の $n$ 進法表記)。このとき $r \leq \log_{n} m$ であり、 $| a_{i} | \leq a_{i} | 1 | = a_{i} \leq n$ であることに注意して、 $N = max {1, | n |}$ とすると
$\begin{array}{r} | m | = | \sum_{i = 0}^{r} a_{i} n^{i} | \leq \sum_{i = 0}^{r} | a_{i} | {| n |}^{i} \leq \sum_{i = 0}^{r} n N^{r} = (1 + r) n N^{r} \leq (1 + \log_{n} m) n N^{\log_{n} m} \end{array}$
である。ここで、 $t$ を正整数として上式において $m \mapsto m^{t}$ とすると
$\begin{array}{r} | m |^{t} = | m^{t} | \leq (1 + t \log_{n} m) n N^{t \log_{n} m} \end{array}$
両辺 $t$ 乗根をとって
$\begin{array}{r} | m | \leq {(1 + t \log_{n} m) n}^{1 / t} N^{\log_{n} m} \end{array}$
いま、 $t$ は任意の正整数で、
$\begin{array}{r} lim_{t \to \infty} {(1 + t \log_{n} m) n}^{1 / t} = 1 \end{array}$
だから
$\begin{array}{r} | m | \leq lim_{t \to \infty} {(1 + t \log_{n} m) n}^{1 / t} N^{\log_{n} m} = N^{\log_{n} m} \end{array}$
いま、 $N = max (1, | n |)$ より $N^{\log_{n} m} = max (1, | n |^{\log_{n} m})$ であるが、 $N = 1$ とすると、 $1 < | m | \leq 1$ となり矛盾。よって、 $max (1, | n |^{\log_{n} m}) = | n |^{\log_{n} m}$
$\begin{array}{r} | m | \leq | n |^{\log_{n} m} = | n |^{\log m / \log n} \end{array}$
より
$\begin{array}{r} | m |^{1 / \log m} \leq | n |^{1 / \log n} \end{array}$
であるが、 $n, m$ は任意だからそれぞれ入れ替えた式も成立。よって、
$\begin{array}{r} | n |^{1 / \log n} = | m |^{1 / \log m} \end{array}$
つまり、任意の $n \in Z_{\geq 2}$ に対して $c = | n |^{1 / \log n}$ を満たす定数 $c$ が存在し、このとき、任意の $n \in Z_{\geq 2}$ に対して
$\begin{array}{r} | n | = c^{\log n} = n^{\log c} = | n |_{\infty}^{\log c} \end{array}$
であるから、補題2より $| \cdot |$ と $| \cdot |_{\infty}$ は同値である。