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n変数のcosの積和公式

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0.目次

1.はじめに
2.おさらい
3.n変数のcosの積和公式
4.終わりに

1.はじめに

以前、 n変数のsinの積和公式 について書いたので、cosについても書いておこうと思います。

$$☆\prod_{i=1}^{n}\cos(a_i)\text{を三角関数の和に展開するのが目標}☆$$

2.おさらい

2変数の積和公式

$$\cos{\alpha} \cos{\beta}=\frac{1}{2}\Big(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta) \Big)$$

2変数の場合はこのような形になります。みなさんご存じの通り、これはcosの加法定理
$ \cos ( \alpha + \beta )= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $
$ \cos( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $
から分かります。(^_-)-☆

3.n変数のcosの積和公式

$\sum_{}$の表記法について

$ k_{1} ~k_{n} $を適当な数として
$$ f(k_{1} \pm k_{2} \pm \cdots \pm k_{n}) $$
で表される$2^{n-1}$個の数の総和を
$ \sum_{}f(k_{1} \pm k_{2} \pm \cdots \pm k_{n}) $と書くこととします。

(例)
$ \sum_{}f( A\pm B \pm C)=f(A+B+C)+f(A+B-C)+f(A-B+C)+f(A-B-C) $

本題!!!

$$\prod_{i=1}^{n}\cos(a_i)=\frac{1}{2^{n-1}}\sum\cos(a_1 \pm a_2 \pm \cdots \pm a_n)$$

数学的帰納法により証明する。
⓵n=2の場合はすでに示した。
⓶n=kで成り立つと仮定し、n=k+1でも成り立つことを確認する。

\begin{align} \prod_{i=1}^{k+1}\cos(a_i)&=\cos(a_{k+1})\prod_{i=1}^{k}\cos(a_i)\\ &=\cos(a_{k+1})\Big(\frac{1}{2^{k-1}}\sum\cos(a_1 \pm a_2 \pm \cdots \pm a_k)\Big) \quad(\because \text{仮定})\\ &=\frac{1}{2^{k-1}}\sum\cos(a_1 \pm a_2 \pm \cdots \pm a_k)\cos(a_{k+1})\\ &=\frac{1}{2^{k}}\sum\cos(a_1 \pm a_2 \pm \cdots \pm a_k \pm a_{k+1}) \quad(\because \text{2変数の積和公式})\\ \end{align}
⓵⓶から、$2 \leq n$で定理1が成り立つことが示された$\blacksquare $

追記

Twitterにて下のような形の方が綺麗ではないかという意見を頂きました。確かに...
$$\prod_{i=1}^{n}\cos(a_i)=\frac{1}{2^{n}}\sum\cos(\pm a_1 \pm a_2 \pm \cdots \pm a_n)$$

4.終わりに

sinの積和公式は、nの偶奇によって場合分けする必要がありしたが、cosの場合は場合分けをすることなく簡単に求められますね\(^o^)/
ここまで読んでいただきありがとうございました!

投稿日:111
更新日:111

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