高校数学解説

n変数のcosの積和公式

三角関数,積和公式

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0.目次

1.はじめに
2.おさらい
3.n変数のcosの積和公式
4.終わりに

1.はじめに

以前、 n変数のsinの積和公式について書いたので、cosについても書いておこうと思います。

$☆ \prod_{i = 1}^{n} \cos (a_{i}) を三角関数の和に展開するのが目標 ☆$

2.おさらい

2変数の積和公式

$\cos α \cos β = \frac{1}{2} (\cos (α + β) + \cos (α - β))$

2変数の場合はこのような形になります。みなさんご存じの通り、これはcosの加法定理
$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$
$\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$
から分かります。(^_-)-☆

3.n変数のcosの積和公式

\sum_{}

の表記法について

$k_{1} ～ k_{n}$ を適当な数として
$f (k_{1} \pm k_{2} \pm \dots \pm k_{n})$
で表される $2^{n - 1}$ 個の数の総和を
$\sum_{} f (k_{1} \pm k_{2} \pm \dots \pm k_{n})$ と書くこととします。

（例）
$\sum_{} f (A \pm B \pm C) = f (A + B + C) + f (A + B - C) + f (A - B + C) + f (A - B - C)$

本題！！！

$\prod_{i = 1}^{n} \cos (a_{i}) = \frac{1}{2^{n - 1}} \sum \cos (a_{1} \pm a_{2} \pm \dots \pm a_{n})$

数学的帰納法により証明する。
⓵n=2の場合はすでに示した。
⓶n=kで成り立つと仮定し、n=k+1でも成り立つことを確認する。

$\begin{aligned} \prod_{i = 1}^{k + 1} \cos (a_{i}) & = \cos (a_{k + 1}) \prod_{i = 1}^{k} \cos (a_{i}) \\ = \cos (a_{k + 1}) (\frac{1}{2^{k - 1}} \sum \cos (a_{1} \pm a_{2} \pm \dots \pm a_{k})) (∵ 仮定) \\ = \frac{1}{2^{k - 1}} \sum \cos (a_{1} \pm a_{2} \pm \dots \pm a_{k}) \cos (a_{k + 1}) \\ = \frac{1}{2^{k}} \sum \cos (a_{1} \pm a_{2} \pm \dots \pm a_{k} \pm a_{k + 1}) (∵ 2変数の積和公式) \end{aligned}$
⓵⓶から、 $2 \leq n$ で定理1が成り立つことが示された $◼$