コーシーの関数方程式の「安定性」

$\delta$-加法的だから任意の$x\in E$に対して$\parallel f(x)-2f(\frac{1}{2}x)\parallel <{\displaystyle \frac{\delta }{2}}$.帰納法で任意の$x\in E$に対し
$\parallel 2^{-n}f(x)-f(2^{-n}x)\parallel <\delta (1-2^{-n})$が成立することを示す.$n=1$のときは示した.これから
$\parallel \frac{1}{2}f(2^{-n}x)-f(2^{-n-1}x)\parallel <{\displaystyle \frac{\delta }{2}}$.
一方,帰納法の仮定から
$\parallel 2^{-n}f(x)-f(2^{-n}x)\parallel <\delta (1-2^{-n})$
この$2$つを用いて
$\parallel 2^{-n-1}f(x)-f(2^{-n-1}x)\parallel$
$\le \parallel 2^{-n-1}f(x)-\frac{1}{2}f(2^{-n}x)\parallel +\parallel \frac{1}{2}f(2^{-n}x)-f(2^{-n-1}x)\parallel$
$<{\displaystyle \frac{\delta }{2}}(1-2^{-n})+{\displaystyle \frac{\delta }{2}}=\delta (1-2^{-n-1})$
よって帰納法で示される.
$x\in E$に対し$q_n(x)={\displaystyle \frac{f(2^{n}x)}{2^n}}$とおく.$m<n$として
$q_n(x)-q_m(x)={\displaystyle \frac{f(2^{m-n}{2}^{n}x)-2^{m-n}f(2^{n}x)}{2^m}}$
なので示した不等式から
$\parallel q_m(x)-q_n(x)\parallel <\delta {\displaystyle \frac{1-2^{m-n}}{2^m}}$.よって$\{q_n(x){\}}_n$はコーシー列である.$E$は完備だから$l(x)={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{q}_n(x)}$とおける.$\delta$-加法的であることから任意の$x,y\in E$に対して
$\parallel f(2^{n}x+2^{n}y)-f(2^{n}x)-f(2^{n}y)\parallel <\delta$.
両辺を$2^n$で割って$l(x+y)=l(x)+l(y)$.
示した不等式で$x$を$2^{n}x$でおきかえて
$\Vert {\displaystyle \frac{f(2^{n}x)}{2^n}}-f(x)\Vert <\delta (1-2^{-n})$.よって
$\parallel l(x)-f(x)\parallel \le \delta$.

一意性を示す.線形変換$L(x)$が任意の$x\in E$に対し$\parallel L(x)-f(x)\parallel \le \delta$を満たすとする.ある$y\in E$が存在して$l(y)\ne L(y)$とする.$n>{\displaystyle \frac{2\delta }{\parallel l(y)-L(y)\parallel }}$を満たす正整数$n$に対し$\parallel l(ny)-L(ny)\parallel >2\delta$.これは$\parallel L(ny)-f(ny)\parallel \le \delta$かつ$\parallel l(ny)-f(ny)\parallel \le \delta$であることに矛盾する.

$l(x)$が連続でないとする.線形作用素に対しては原点で連続であれば任意の点で連続だから,ある正整数$k$と$0$に収束する$E$の点列$\{x_n{\}}_n$が存在して任意の正整数$n$に対して$\parallel l(x_n)\parallel >{\displaystyle \frac{1}{k}}$.$m$を$m>3k\delta$を満たす正整数とする.
$\parallel l(x_n+y)-l(x_n)\parallel =\parallel l(x_n)\parallel >3\delta$
一方,$f$の$y$での連続性から十分大きな$n$に対して
$\parallel l(x_n+y)-l(y)\parallel \le \parallel l(x_n+y)-f(x_n+y)\parallel$
$+\parallel f(m{x}_n+y)-f(y)\parallel +\parallel f(y)-l(y)\parallel <3\delta$.
これは矛盾.