コーシーの関数方程式の「安定性」

$\delta$-加法的だから任意の$x\in E$に対して$ \|f(x)-2f(\frac{1}{2}x)\|<\dfrac{\delta}{2}$.帰納法で任意の$x\in E$に対し
$\|2^{-n}f(x)-f(2^{-n}x)\|<\delta(1-2^{-n})$が成立することを示す.$n=1$のときは示した.これから
$\|\frac{1}{2}f(2^{-n}x)-f(2^{-n-1}x)\|<\dfrac{\delta}{2}$.
一方,帰納法の仮定から
$\|2^{-n}f(x)-f(2^{-n}x)\|<\delta (1-2^{-n})$
この$2$つを用いて
$\|2^{-n-1}f(x)-f(2^{-n-1}x)\|$
$\leq\|2^{-n-1}f(x)-\frac{1}{2}f(2^{-n}x)\|+\|\frac{1}{2}f(2^{-n}x)-f(2^{-n-1}x)\|$
$<\dfrac{\delta}{2}(1-2^{-n})+\dfrac{\delta}{2}=\delta (1-2^{-n-1})$
よって帰納法で示される.
$x\in E$に対し$q_n(x)=\dfrac{f(2^n x)}{2^n}$とおく.$m< n$として
$q_n(x)-q_m(x)=\dfrac{f(2^{m-n}2^n x)-2^{m-n}f(2^n x)}{2^m}$
なので示した不等式から
$\|q_m(x)-q_n(x)\|<\delta \dfrac{1-2^{m-n}}{2^m}$.よって$\{q_n(x)\}_n$はコーシー列である.$E$は完備だから$l(x)=\displaystyle\lim_{n\to \infty}q_n(x)$とおける.$\delta$-加法的であることから任意の$x,y\in E$に対して
$\|f(2^n x+2^n y)-f(2^n x)-f(2^n y)\|<\delta$.
両辺を$2^n$で割って$l(x+y)=l(x)+l(y)$.
示した不等式で$x$を$2^n x$でおきかえて
$\left \| \dfrac{f(2^n x)}{2^n}-f(x)\right \|<\delta (1-2^{-n})$.よって
$\|l(x)-f(x)\|\leq \delta$.

一意性を示す.線形変換$L(x)$が任意の$x\in E$に対し$\|L(x)-f(x)\|\leq \delta$を満たすとする.ある$y\in E$が存在して$l(y)\neq L(y)$とする.$n>\dfrac{2\delta}{\|l(y)-L(y)\|}$を満たす正整数$n$に対し$\|l(ny)-L(ny)\|>2\delta$.これは$\|L(ny)-f(ny)\|\leq \delta$かつ$\|l(ny)-f(ny)\|\leq\delta$であることに矛盾する.

$l(x)$が連続でないとする.線形作用素に対しては原点で連続であれば任意の点で連続だから,ある正整数$k$と$0$に収束する$E$の点列$\{x_n\}_n$が存在して任意の正整数$n$に対して$\|l(x_n)\|>\dfrac{1}{k}$.$m$を$m>3k\delta$を満たす正整数とする.
$\|l(x_n+y)-l(x_n)\|=\|l(x_n)\|>3\delta$
一方,$f$の$y$での連続性から十分大きな$n$に対して
$\|l(x_n+y)-l(y)\|\leq \|l(x_n+y)-f(x_n+y)\|$
$+\|f(mx_n+y)-f(y)\|+\|f(y)-l(y)\|<3\delta$.
これは矛盾.