ディリクレ積分を自力で示した！

証明

$I(a)$ を以下のように設定します:
$$ I(a):=\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}e^{-ax}\,dx$$

このとき,
\begin{align*} I(a)&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\int_0^\infty x^{2n}e^{-ax}\,dx\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n)!}{a^{2n+1}(2n+1)!}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}\left(\frac{1}{a}\right)^{2n+1}\\ &=\tan^{-1}\frac{1}{a}. \end{align*}

そして, 両辺の極限をとります.
\begin{align*} &\lim_{a\downarrow 0}I(a)=\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx\\ &\lim_{a\downarrow 0}\tan^{-1}\frac{1}{a}=\frac{\pi}{2} \end{align*}

よって,
$$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}.$$

最後に

この解き方は、最後の極限のあたりが厳密ではありません. さらに, $\sin x/x$ が悪さをして厳密にやるのもかなり難しいそうです.

しかし, わたしとしては色んな知識を発揮できたので嬉しかったです😊

元ツイ

• https://x.com/MathExplorer262/status/1403321093612445703?s=20