圏論と群作用

圏$\mathbf{\text{Set}}$を次で定める:

• 対象: 集合
• 射: 写像
• 射の合成: 写像の合成
• 恒等射: 恒等写像

集合$X$の$\mathbf{\text{二項演算}}$とは, 写像$\ast :X\times X\to X$のことをいう. 集合$X$とその二項演算$\ast :X\times X\to X$の対$(X,\ast )$を$\mathbf{\text{マグマ}}$という.
マグマ$(M,\ast )$に対して

• $e\in M$が$(M,\ast )$の$\mathbf{\text{単位元}}$であるとは, $\mathrm{\forall }x\in M:x\ast e=x=e\ast x$であることをいう.
• $(M,\ast )$が$\mathbf{\text{結合律}}$を満たすとは, $\mathrm{\forall }x,y,z\in M:(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$であることをいう.

結合律を満たすマグマを$\mathbf{\text{半群}}$といい, 単位元を持つ半群を$\mathbf{\text{モノイド}}$という.

モノイド$(M,\ast ,e)$に対して, $x\in M$が$\mathbf{\text{可逆}}$であるとは,
$$\mathrm{\exists }y\in M:xy=e=yx$$
であることをいう. 群とは任意の元が可逆なモノイドのことをいう.

群$G$と集合$X$に対し, 写像$\ast :G\times X\to X$が$\mathbf{\text{作用}}$であるとは,

1. $e\ast x=x$
2. $\mathrm{\forall }g,h\in G:\mathrm{\forall }x\in X:g\ast (h\ast x)=(gh)\ast x$

が成り立つことをいう. 集合$X$と作用$\ast :G\times X\to X$の対$(X,\ast )$を$G\mathbf{\text{-集合}}$といい, 群$G$は集合$X$に$\mathbf{\text{作用する}}$という.