圏論と群作用

圏$\Sets$を次で定める:

• 対象: 集合
• 射: 写像
• 射の合成: 写像の合成
• 恒等射: 恒等写像

集合$X$の$\textbf{二項演算}$とは, 写像$*\colon X\times X\to X$のことをいう. 集合$X$とその二項演算$*\colon X\times X\to X$の対$(X,*)$を$\textbf{マグマ}$という.
マグマ$(M,*)$に対して

• $e\in M$が$(M,*)$の$\textbf{単位元}$であるとは, $\forall x\in M\colon x*e=x=e*x$であることをいう.
• $(M,*)$が$\textbf{結合律}$を満たすとは, $\forall x,y,z\in M\colon (x*y)*z=x*(y*z)$であることをいう.

結合律を満たすマグマを$\textbf{半群}$といい, 単位元を持つ半群を$\textbf{モノイド}$という.

モノイド$(M,*,e)$に対して, $x\in M$が$\textbf{可逆}$であるとは,
$$\exists y\in M\colon xy=e=yx$$
であることをいう. 群とは任意の元が可逆なモノイドのことをいう.

群$G$と集合$X$に対し, 写像$*\colon G\times X\to X$が$\textbf{作用}$であるとは,

1. $e*x=x$
2. $\forall g,h \in G\colon\forall x\in X\colon g*(h*x)=(gh)*x$

が成り立つことをいう. 集合$X$と作用$*\colon G\times X\to X$の対$(X,*)$を$G\textbf{-集合}$といい, 群$G$は集合$X$に$\textbf{作用する}$という.