ディラック方程式での「流れの保存」
Dirac方程式は$\gamma$行列を使って
$$(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0$$
と書けるのでした（$\gamma$行列の定義は
以前の記事
を参照してください）。
$j^\mu=\psi^\dagger\gamma^0\gamma^\mu\psi$で、カレントを定義します。すると、
$$
\partial_\mu j^\mu=\partial_\mu(\psi^\dagger\gamma^0\gamma^\mu\psi)=
\partial_\mu(\psi^\dagger\gamma^0\gamma^\mu)\psi+\psi^\dagger\gamma^0(\gamma^\mu\partial_\mu\psi)
$$
です。$\psi^\dagger$の情報が欲しいので、Dirac方程式のエルミート共役を取ります。
\begin{align*}
&-i\partial_\mu\psi^\dagger\gamma^{\mu\dagger}-m\psi^\dagger=0\\
&-i\partial_0\psi^\dagger\gamma^0+i\partial_k\psi^\dagger\gamma^k-m\psi^\dagger=0\\
&i\partial_0(\psi^\dagger\gamma^0)\gamma^0+i\partial_k(\psi^\dagger\gamma^0)\gamma^k+m\psi^\dagger\gamma^0=0\\
&i\partial_\mu(\psi^\dagger\gamma^0\gamma^\mu)+m\psi^\dagger\gamma^0=0
\end{align*}
となります（二行目から三行目で右から$-\gamma^0$をかけ、$\gamma^k\gamma^0=-\gamma^0\gamma^k$となることを使いました）。そして、
$$
\partial_\mu j^\mu=0
$$
が導かれます。これがDirac方程式における流れの保存を表す式となります。
