自作定積分

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以下の定積分を求めよ．
$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{4 + \cos x(\cos x + 4\cos 9x) }$

自作の定積分の問題ですが，もっと簡単な解法が思いついた場合 or　もっと被積分関数がシンプルな定積分で，同じような方針で解くことが出来る問題が作成できたら是非教えてください。

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$\cos$の分数式の積分なので，複素積分に帰着出来ないかと考えます．
しかし，積分区間が$[0,\pi/2]$なので，このままオイラーの公式を用いても周回積分になりません．そこでまずはこの区間を$[0,2\pi]$にするように工夫します．
\begin{align*} I &:= \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{4 + \cos x(\cos x + 4\cos 9x) }\\ &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{\cos^2 x + 4\cos 9x \cos x + 4 } \end{align*}とおく．$x = \pi - y$と置換すると，
\begin{align*} I&= -\int_{\pi}^{\pi/2} \frac{dy}{ \cos^2 (\pi - y) + 4\cos (9\pi - 9 y) \cos(\pi- y) + 4 }\\ &=\int_{\pi/2}^{\pi} \frac{dy}{\cos^2 y + 4\cos 9y \cos y + 4 } \end{align*}より，
$\displaystyle 2I = \int_{0}^{\pi} \frac{dx}{ \cos^2 x + 4\cos 9x \cos x + 4 }.$

また，倍角の公式 & 和積の公式から，
\begin{align*} &\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{\cos^2 x + 4\cos 9x \cos x+ 4 } =\int_{0}^{\pi} \frac{2 ~dx}{\cos 2x + 4\cos 10x + 4 \cos 8x+ 9 }. \end{align*}
$2x = t$と置換すると，
\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \frac{2~dx}{\cos 2x + 4\cos 10x + 4 \cos 8x+ 9 }&=\int_{0}^{2\pi} \frac{dt}{\cos t + 4\cos 5t + 4 \cos 4t+ 9 }. \end{align*}
これで積分区間が$[0,2\pi]$になったので，複素周回積分に帰着出来ます．オイラーの公式から，
\begin{align*} &\int_{0}^{2\pi} \frac{dt}{\cos t + 4\cos 5t + 4 \cos 4t+ 9 } \\ &=\int_{0}^{2\pi} \frac{dt}{\frac{e^{it} + e^{-it}}{2} + 4 \left(\frac{e^{5it} + e^{-5it}}{2} \right) +4\left(\frac{e^{4it} + e^{-4it}}{2} \right) + 9 } \\ &=\int_{0}^{2\pi} \frac{2 e^{5it}}{4e^{10it} + 4e^{9it} + e^{6it} + 18e^{5it}+ e^{4it} +4e^{it} + 4 } ~ dt. \end{align*}
$z = e^{it}$とおくと，
\begin{align*} &\int_{0}^{2\pi} \frac{2 e^{5it}}{4e^{10it} + 4e^{9it} + e^{6it} + 18e^{5it}+ e^{4it} +4e^{it} + 4 } ~ dt\\ &=-i \int_{|z|=1} \frac{2 z^4}{4z^{10} + 4z^9 + z^6 + 18z^5+ z^4 +4z + 4 } ~ dz \\ &=-i \int_{|z|=1} \frac{2 z^4}{(4z^5+z+1)(z^5+z^4+4)} ~ dz \end{align*}
このように複素周回積分に帰着できましたが，$4z^5+z+1$, $z^5+z^4+4$の根は代数的には求められません．そのため，根を具体的には求めず，ルーシェの定理や根と係数の関係を用いて解くことを目指します．
$|z|=1$とすると，$|z+1| \leq |z| + 1 = 2< 4=|4z^5|$から，ルーシェの定理より，$4z^5 + z + 1 = 0$の解は$\{z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1\}$内に全て存在するが，$z^5 + z^4 + 4 =0$の解，すなわち$4(z^{-1})^5 + z^{-1} + 1 = 0$の解は$\{z\in \mathbb{C} \mid |z| < 1\}$内には存在しない．また，$f(z) := 4z^5 + z + 1$とおくと，$f'(z) = 20z^4 + 1$であり，$f$の判別式$\Delta$は，$f$と$f'$からなるシルヴェスター行列の行列式で記述できるため，

$\displaystyle \Delta =\frac{1}{4} \begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 20 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 20 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 20 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 20 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=816384 > 0 $
となる．したがって$4z^5 + z + 1$の根は全て異なる．よって，$4z^5 + z + 1$の根を$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_5$とすると，留数定理から，
\begin{align*} &-i \int_{|z|=1} \frac{2 z^4}{(4z^5+z+1)(z^5+z^4+4) } ~ dz \\ &= -i \cdot 2 \pi i \sum_{k=1}^5 \lim_{z \to \alpha_k} \left\{(z - \alpha_k) \frac{2 z^4}{(4z^5+z+1)(z^5+z^4+4) } \right\}\\ &= 4 \pi \sum_{k=1}^5 \frac{\alpha_k^4}{f'(\alpha_k)(\alpha_k^5+\alpha_k^4+4) } \\ &= 4\pi \sum_{k=1}^5\frac{\alpha_k^4}{(20 \alpha_k^4 + 1)(\alpha_k^5+\alpha_k^4+4)}. \end{align*}
ここで，$\alpha$を$4x^5 + x^4 + 1$の根の一つとする．$4 \alpha^5 + \alpha + 1 = 0$より，$\displaystyle \alpha^5 = - \frac{1}{4}(\alpha + 1).$ よって，
\begin{align*} &\frac{\alpha^4}{(20 \alpha^4 + 1)(\alpha^5+\alpha^4+4)}\\ &= \frac{\alpha^4}{(20 \alpha^4 + 1)(-\frac{\alpha+1}{4}+\alpha^4+4)} \\ &= \frac{ 4\alpha^5}{(20 \alpha^5 + \alpha)( 4\alpha^4-\alpha +15)}\\ &=\frac{ -(\alpha+1)}{(-5(\alpha+1) + \alpha)( 4\alpha^4-\alpha +15)}\\ &=\frac{\alpha+1}{(4\alpha+5)( 4\alpha^4-\alpha +15)}. \end{align*}
また，$4\alpha^4 = -1-\frac{1}{\alpha}$より，
\begin{align*} &\frac{\alpha+1}{(4\alpha+5)( 4\alpha^4-\alpha +15)}\\ &=\frac{\alpha+1}{(4\alpha+5) \big( (-1 - 1/\alpha)-\alpha +15 \big)}\\ &=-\frac{\alpha(\alpha+1)}{(4\alpha+5)( \alpha^2 - 14\alpha+ 1)} \\ &= -\frac{79\alpha-1}{321(\alpha^2 - 14\alpha+1)} - \frac{5}{321(4\alpha+5)}\\ &=\frac{138-79\sqrt{3}}{642 \sqrt{3} (\alpha + 4 \sqrt{3} - 7)} - \frac{138 + 79 \sqrt{3}}{642 \sqrt{3} (\alpha - 4 \sqrt{3} - 7)} - \frac{5}{321(4\alpha+5)}. \end{align*}
ここで，$s_j~(j=1,2,...,5)$を，$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_5$の$j$次基本対称式とすると，根と係数の関係から，$s_1=0$, $s_2=0$, $s_3=0$, $s_4=1/4$, $s_5 = -1/4$より，$a,b \in \mathbb{R}$に対して，
\begin{align*} &\sum_{1 \leq k_1 < k_2 < k_3 < k_4 \leq 5 }\prod_{j=1}^4 (a \alpha_{k_j} + b) = a^4 s_4 + a^3 b s_3 + a^2 b^2 s_2 + a b^3 s_1 + 5b^4 \\ &=\frac{1}{4} a^4 + 5b^4, \end{align*}
\begin{align*} &\prod_{j=1}^5 (a \alpha_{k_j} + b)= a^5 s_5 + a^4 b s_4 + a^3 b^2 s_3 + a^2 b^3 s_2 + a b^4 s_1 + b^5 \\ &=-\frac{1}{4} a^5 + \frac{1}{4} a^4 b + b^5 \end{align*}となる．よって，$ab\neq 0$ならば，
$\displaystyle \sum_{k=1}^5 \frac{1}{a \alpha_k + b}=\frac{a^4+20b^4}{- a^5 + a^4 b + 4b^5}$より，

\begin{align*} &\sum_{k=1}^5 \left\{\frac{138-79\sqrt{3}}{642 \sqrt{3} (\alpha_k + 4 \sqrt{3} - 7)} - \frac{138 + 79 \sqrt{3}}{642 \sqrt{3} (\alpha_k - 4 \sqrt{3} - 7)} - \frac{5}{321(4\alpha_k +5)} \right\}\\ &=-\frac{138-79\sqrt{3}}{642 \sqrt{3}} \frac{7(113 + 29\sqrt{3})}{1224}+\frac{138 + 79 \sqrt{3}}{642 \sqrt{3}}\frac{7(113 - 29\sqrt{3})}{1224} -\frac{5}{321} \\ &=\frac{265}{3672} . \end{align*}よって，$\displaystyle I = 2\pi \cdot \frac{265}{3672} = \frac{265}{1836} \pi.$

投稿日：2023年8月4日

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