大学数学基礎解説

【メモ】直積環上の加群の一般論

環論,代数,直積環

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直積環上の加群の一般論についてメモしておく記事です．(自分用のメモという意味合いが強いです．)

記事全体で左加群を単に加群と呼びます．

直積環上の加群

直積環上の加群の構造

$A, B$ は可換とは限らない環とする．直積環 $A \times B$ 上の加群 $M$ を考える．

$A \times B$ 加群 $M$ は $A$ 加群 $M_{A}$ と $B$ 加群 $M_{B}$ との内部直和として記述できる．

すなわち部分 $A \times B$ 加群 $M_{A}, M_{B} \subset M$ が存在して， $M_{A}$ は $A$ 加群， $M_{B}$ は $B$ 加群でもあり， $A \times B$ 加群の同型 $M \to M_{A} \oplus M_{B}$ が存在する．

$M_{A} := {m \in M | \forall b \in B, (0, b) m = 0}$ ，

$M_{B} := {m \in M \forall a \in A, (a, 0) m = 0}$

と定めると，これらは自然にそれぞれ $A$ 加群， $B$ 加群である．
( $a \cdot m_{A} := (a, 0) \cdot m_{A}$ などと定める．)

また， $M_{A}, M_{B}$ はともに $M$ の部分 $A \times B$ 加群でもある．

$M = M_{A} + M_{B}$ と $M_{A} \cap M_{B} = {0}$ は簡単に示せる．

$n$ を正の整数とし， $A_{1}, . . ., A_{n}$ を環とする． $A := A_{1} \times . . . \times A_{n}$ 上の加群についても同様の命題が成立する．

$M$ を $A$ 加群とする．

このとき部分 $A$ 加群 $M_{i} \subset M (i = 1, . . ., n)$ が存在して， $M_{i}$ は $A_{i}$ 加群でもあり， $A$ 加群として $M = M_{1} \oplus . . . \oplus M_{n}$ が成り立つ．

命題1により， $n$ についての帰納法で示せる．

既約加群

以下でも先ほどと同じく直積環 $A = A_{1} \times . . . \times A_{n}$ を考える．

$M = M_{1} \oplus . . . \oplus M_{n}$ を $A$ 加群とする．ただし $M_{i}$ は $M$ の部分 $A$ 加群で， $A_{i}$ 加群でもあるとする． $M$ の部分加群について次の命題が成立する：

$M$ の部分 $A$ 加群は， $N_{1} \oplus . . . \oplus N_{n}$ と書ける．
ただし $i = 1, . . ., n$ に対して $N_{i}$ は $M$ の部分 $A$ 加群であり， $M_{i}$ の部分 $A_{i}$ 加群でもある．

既約加群については次の命題が成立する：

$M$ が既約 $A$ 加群であるための必要十分条件は，ある $i_{0}$ が存在して， $M_{i_{0}}$ が $A_{i_{0}}$ 加群として既約であり， $i \neq i_{0}$ に対しては $M_{i} = 0$ となることである．

特に既約な $A_{1} \times A_{2}$ 加群は，既約 $A_{i}$ 加群 $M_{i}$ を用いて $M_{1} \oplus {0}$ または ${0} \oplus M_{2}$ と書けるもののみである．

直積環のイデアル

環 $A = A_{1} \times . . . \times A_{n}$ の左イデアルとは， $A$ を左加群としてみたときの部分左 $A$ 加群であるから，直積環 $A$ の左イデアルについて次が成り立つ：

$A$ の左イデアルは， $I = I_{1} \times . . . \times I_{n}$ と書ける．
ただし， $i = 1, . . ., n$ に対して $I_{i}$ は $A_{i}$ の左イデアル．

右イデアル，両側イデアルについても同様．

上の命題の $A$ の左イデアル $I = I_{1} \times . . . \times I_{n}$ について次の命題が成立する：

$I$ が $A$ の極小左イデアルであるための必要十分条件は，ある $i_{0}$ が存在して， $I_{i_{0}}$ が $A_{i_{0}}$ の極小左イデアルであり， $i \neq i_{0}$ に対しては $I_{i} = (0)$ となることである．

次の命題では $A_{1}, . . ., A_{n}$ は可換環とする． $A = A_{1} \times . . . \times A_{n}$ も可換環である． $I = I_{1} \times . . . \times I_{n}$ を $A$ のイデアルとする．ただし $I_{i}$ は $A_{i}$ のイデアル．

(1) $I$ が $A$ の素イデアルであるための必要十分条件は，ある $i_{0}$ が存在して， $I_{i_{0}}$ は素イデアルであり， $i \neq i_{0}$ に対しては $I_{i} = A_{i}$ となることである．

(2) $I$ が $A$ の極大イデアルであるための必要十分条件は，ある $i_{0}$ が存在して， $I_{i_{0}}$ は極大イデアルであり， $i \neq i_{0}$ に対しては $I_{i} = A_{i}$ となることである．

(1)のみ示す． $I$ は素イデアルであると仮定して条件を満たす $i_{0}$ の存在を言う． $n = 2$ の場合を示せば，帰納法により一般の $n$ の場合が示せるので $n = 2$ とする．

$a_{1}, b_{1} \in A_{1}$ とする． $a_{1} b_{1} \in I_{1}$ を仮定する．

$A_{1} \times A_{2}$ の元として $(a_{1}, 0) (b_{1}, 0) = (a_{1} b_{1}, 0) \in I_{1} \times I_{2} = I$ であり，仮定より $I$ は素イデアルであるから， $(a_{1}, 0) \in I$ または $(b_{1}, 0) \in I_{1}$ である．よって $a_{1} \in I_{1}$ または $b_{1} \in I_{1}$ となる．したがって $I_{1}$ は $A_{1}$ の素イデアルであるか， $I_{1} = A_{1}$ である．

(i) $I_{1} = A_{1}$ の場合．
上の議論と同様にして， $I_{2}$ は $A_{2}$ の素イデアルであるか， $I_{2} = A_{2}$ である．今， $I \neq A$ より $I_{2} \neq A_{2}$ であるから， $I_{2}$ は $A_{2}$ の素イデアルである．
したがって $i_{0} = 2$ とすれば条件を満たす．

(ii) $I_{1}$ が素イデアルの場合．
$I_{2} = A_{2}$ となることを示す． $(1, 0) (0, 1) = (0, 0) \in I$ で $I$ は素イデアルであるので $(1, 0) \in I$ または $(0, 1) \in I$ であるが， $1 \notin I_{1}$ なので前者はありえず， $(0, 1) \in I$ を得る．よって $1 \in I_{2}$ で $I_{2} = A_{2}$ ．
したがって $i_{0} = 1$ とすれば条件を満たす．