東大数理院試2025年度専門B問9解答
東大数理の院試（2025年度専門問9）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります．
$\RR$上の実数値ルベーグ可測関数$f$は，任意の$R > 0$に対し
$$
\int_{|x| \leq R} |f(x)|dx < \infty
$$
を満たすとする．このとき，以下の二つの条件(i), (ii)は同値であることを示せ．
(i) $f$は$\RR$上でルベーグ可積分である．
(ii)任意の実数値関数の列$a_n \in C_0(\RR) \, (n = 1, 2, \dots)$で任意の$x \in \RR$において
$$
\sup_{n \geq 1} |a_n(x)| \leq 1, \qquad
\lim_{n \to \infty} a_n(x) = 1
$$
を満たすものに対して，
$$
\limsup_{n \to \infty} \bigg| \int_\RR a_n(x)f(x)dx \bigg| < \infty
$$
が成り立つ．ただし，$C_0(\RR)$は$\RR$上の実数値連続関数で台がコンパクトなもの全体の集合を表す．
$\bullet$ (i) $\Rightarrow$ (ii)：
$$
\bigg| \int_\RR a_n(x)f(x)dx \bigg|
\leq \int_\RR |a_n(x)f(x)|dx
\leq \int_\RR |f(x)|dx
< \infty
$$
だから，左辺の$\dis{\varlimsup_{n \to \infty}}$を取れば良い．
$\bullet$ (ii) $\Rightarrow$ (i)：
対偶を示す．一般性を失わず$f_+(x) := \max\{ f(x), 0\} \not\in L^1(\RR)$として良い．この時各$n$に対し，仮定から$\int_{|x| \leq n} f(x)dx$は有限なので
$$
\int_{|x| \leq n} f(x)dx + \int_{n < |x| \leq R_n} f_+(x)dx
\geq n, \qquad
\int_{R_n < |x| \leq R_n'} |f(x)|dx
\leq 1
$$
となる$R_n' > R_n > n$が取れる．$A_n = [-n, n] \cup (\{ n \leq |x| \leq R_n\} \cap \supp f_+)$とおく．各$j$に対し，$A_n \subset U_{n, j} \subset U_n := \{ |x| < R_n'\}$なる開集合$U_{n, j}$であって$\mu(U_{n, j} \setminus A_n) < 1 / j$となるものが存在する．ここで$\mu$は Lebesgue 測度である．この時 Urysohn の補題から，$[0, 1]$に値を取る$g_{n, j} \in C_0(\RR)$であって，$A_n$上で$1$を取り$\RR \setminus U_{n, j}$上で$0$を取るものが存在する．よって
$$
\int_\RR |g_{n, j}(x) - \chi_{A_n}(x)|dx
= \int_{U_{n, j} \setminus A_n} |g_{n, j}(x) - \chi_{A_n}(x)|dx
< \frac{2}{j}
\to 0 \quad (j \to \infty)
$$
なので，$g_{n, j}$は$\chi_{A_n}$に$L^1$収束する．従って$\chi_{A_n}$に概収束する部分列が取れる．それを改めて$g_{n, j}$と書く．この時$|g_{n, j} - \chi_{A_n}||f| \leq 2\chi_{\{ |x| \leq R_n'\}}|f| \in L^1(\RR)$と Lebesgue の収束定理から
$$
\bigg| \int_\RR g_{n, j}(x)f(x)dx - \int_\RR \chi_{A_n}(x)f(x)dx \bigg|
\leq \int_\RR |g_{n, j}(x) - \chi_{A_n}(x)||f(x)|dx
\to 0 \quad (j \to \infty)
$$
なので，
$$
\int_\RR g_{n, j_n}(x)f(x)dx
\geq \int_\RR \chi_{A_n}(x)f(x)dx - 1
\tag{$\ast$}
$$
となる$j_n$が存在する．そこで$a_n(x) = g_{n, j_n}(x)$とおけば，任意の$x \in \RR$に対し$a_n(x) \in [0, 1], a_n(x) \to 1 \, (n \to \infty)$であり，$(\ast)$の右辺は
\begin{align*}
&\geq \int_{|x| \leq n} f(x)dx + \int_{n < |x| \leq R_n} f_+(x)dx
- \int_{R_n < |x| \leq R_n'} |f(x)|dx - 1 \\
&\geq n - 2
\to \infty \quad (n \to \infty)
\end{align*}
となる．
