部分対象の定義の観察

まず包含写像$i_M \colon M \hookrightarrow A$とは、次の三つ組が定める写像として定義する。
$$ \Gamma \overset{\mathrm{def}}{=} (\Delta_M,M,A),\ \Delta_M \overset{\mathrm{def}}{=}\{(x,x)\mid x \in M \} $$
集合$\Delta_M$は、$M$の対角線集合である。これが写像のグラフ(左全域的かつ右一意的な二項関係)であることを確かめるのは容易い。
$(\Longrightarrow)M \subseteq A$のとき、$\forall x . x \in M \Rightarrow x \in A$であるから、
$\Delta_M \subseteq M \times A$が成立する。よって$\Gamma$は$M$から$A$への写像として定義可能である。
$(\Longleftarrow)i_M\colon M \hookrightarrow A$が定義できるとき、$\Gamma$が$i_M$を定義することから、$\Delta_M \subseteq M \times A$である。
よって$\forall x . x \in M \Rightarrow (x,x) \in M \times A$であるが、これは$\forall x . x \in M \Rightarrow x \in A$を導く。

$$ \begin{aligned} \Delta_Y \circ R &= \{ (x,z) \mid \exists y . (x,y) \in R \land (y,z) \in \Delta_Y \}\\ &= \{ (x,z) \mid \exists y . (x,y) \in R \land y = z \}\\ &= \{ (x,z) \mid (x,z) \in R \}\\ &= R \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} R \circ \Delta_X &= \{ (x,z) \mid \exists y . (x,y) \in \Delta_X \land (y,z) \in R \}\\ &= \{ (x,z) \mid \exists y . x = y \land (y,z) \in R \}\\ &= \{ (x,z) \mid (x,z) \in R \}\\ &= R \end{aligned} $$

$\Delta_M,\Delta_N$をそれぞれ$M,N$上の対角線集合とする。
$i_M,i_N$の定義はそれぞれ三つ組$(\Delta_M,M,A),(\Delta_N,N,A)$である。
$(\Longrightarrow)M \subseteq N$のとき、包含写像$\theta \colon M \hookrightarrow N$が三つ組$(\Delta_M,M,N)$によって定義可能であるから、$i_M = i_N \circ \theta$が成立する。
$(\Longleftarrow)$ある$\theta \colon M \to N$で$i_M = i_N \circ \theta$を満たすものが存在すると仮定する。
$\theta$を三つ組$(G_\theta,M,N),G_\theta \overset{\mathrm{def}}{=} \{ (x,y) \mid x \in M \land y = \theta(x)\}$で表す。
合成写像$i_N \circ \theta$を定義する三つ組$(G',M,A)$に関して、命題2より、$G' = \Delta_N \circ G_\theta = G_\theta$が成り立つ。
$i_M = i_N \circ \theta$より、写像のグラフの一致から$G' = \Delta_M$でなければならない。よって$G_\theta = \Delta_M$である。
したがって$\theta$は三つ組$(\Delta_M,M,N)$で表されるが、これは$M$から$N$への包含写像と一致する。よって命題1より、$M \subseteq N$が従う。

まず$\mathrm{Inj}_A/\simeq$が順序関係の定まったクラスであることについて。入る順序関係は、前包含関係$\sqsubseteq$が誘導する順序関係である。
$$ [m_1] \subseteq [m_2]\overset{\mathrm{def}}{\iff} m_1 \sqsubseteq m_2 $$
$\subseteq$の定義は代表元の取り方に依らない。実際、任意に$x \in [m_1],y \in [m_2]$を取るとき、$x \sqsubseteq m_1$かつ$m_1 \sqsubseteq x$、$y \sqsubseteq m_2$かつ$m_2 \sqsubseteq y$が成り立つから、
$m_1 \sqsubseteq m_2$ならば$x \sqsubseteq m_1 \sqsubseteq m_2 \sqsubseteq y$より$x \sqsubseteq y$が従い、逆に$x \sqsubseteq y$ならば$m_1 \sqsubseteq m_2$も然り。
反射律、推移律は$\sqsubseteq$から天下り的に従う。反対称律に関しても、$m_1 \sqsubseteq m_2$かつ$m_2 \sqsubseteq m_1$ならば$m_1 \simeq m_2$より、$[m_1] \subseteq [m_2]$かつ$[m_2]\subseteq [m_1]$ならば$[m_1] = [m_2]$が従う。
次に$\mathrm{Inj}_A/\simeq$が$\mathrm{Inc}_A$と順序同型であることについて。
$\mathrm{Inj}_A/\simeq$の各元(同値類)は、包含写像を標準的な代表元として持つ。
実際、任意の単射$m\colon M \to A$に対し、$m$を像分解することで、$m$は包含写像$i_{\mathrm{Im}(m)}$と同値になる：$m = i_{\mathrm{Im}(m)} \circ \overline{m},\ \overline{m}$は全単射。
特に、各同値類はただ一つの包含写像のみを含むことに注目してほしい。($i_M = i_N \circ \theta$かつ$i_N = i_M \circ \eta$は$M=N$と同値であり、$i_M = i_N$を導く。)
よって、$\mathrm{Inj}_A/\simeq$から$\mathrm{Inc}_A$への写像がwell-definedに定まる。この写像は特に可逆である。つまり、包含写像$i_M$に対し、同値類$[i_M]$を割り当てる操作が逆写像を与える。
$$ \Phi \colon \mathrm{Inj}_A/\simeq\ \to \mathrm{Inc}_A,\ \ [m] \mapsto i_{\mathrm{Im}(m)} $$
$$ \Psi \colon \mathrm{Inc}_A \to \mathrm{Inj}_A/\simeq,\ \ i_M \mapsto [i_M] $$
$\Phi,\Psi$はいずれも順序保存写像である。
$\Phi$が順序保存であること。$[m_1]\subseteq [m_2]$のとき、ある$\theta$が存在して$m_1 = m_2 \circ\theta$が成立する。
$m_1 = i_{\mathrm{Im}(m_1)} \circ \overline{m_1},m_2 = i_{\mathrm{Im}(m_2)} \circ \overline{m_2}$と像分解したとき、
$\overline{m_1},\overline{m_2}$は全単射であるから、
$$ \begin{aligned} m_1 &= m_2 \circ \theta\\ \therefore\ i_{\mathrm{Im}(m_1)} \circ \overline{m_1} &= i_{\mathrm{Im}(m_2)} \circ \overline{m_2} \circ \theta\\ \therefore\ i_{\mathrm{Im}(m_1)} &= i_{\mathrm{Im}(m_2)} \circ \overline{m_2} \circ \theta \circ \overline{m_1}^{-1} \end{aligned} $$
したがって$i_{\mathrm{Im}(m_1)} \subseteq i_{\mathrm{Im}(m_2)}$が成立し、$\Phi$は順序を保存する。
$\Psi$が順序保存であること。$i_{M_1} \subseteq i_{M_2}$であるとき、ある$\theta$が存在して$i_{M_1} = i_{M_2}\circ \theta$が成り立つから、
$\mathrm{Inj}_A$にて$i_{M_1} \sqsubseteq i_{M_2}$が成立。よって$[i_{M_1}]\subseteq [i_{M_2}]$が成立し、$\Psi$は順序を保存する。