令和5年度神戸大理学部数学科3年次編入第2問

問題は, 神戸大数学科のウェブサイトの令和 5 年度編入試（PDF-file）を参照してください。

令和5年度神戸大理学部数学科3年次編入第2問の解答

$(1)$
$\begin{array}{r} y^{''} + \sqrt{5} y^{'} - y + 2 = 0 \end{array}$
を満たす $y (x)$ に対し $z (x) : = y (x) - 2$ を考えると, 上の微分方程式は
$\begin{array}{r} z^{''} + \sqrt{5} z^{'} - z = 0 \end{array}$
と書き換えられる。そして, $X^{2} + \sqrt{5} X - 1 = 0$ の解は $X = - \sqrt{5} \pm 3$ なので, この $z (x)$ の微分方程式の解は
$\begin{array}{r} z (x) = A_{0} e^{(- \sqrt{5} + 3) x} + A_{1} e^{(- \sqrt{5} - 3) x} \end{array}$
と実数 $A_{0}, A_{1}$ を用いて表される。よって, 求める $y (x)$ は
$\begin{array}{r} y (x) = A_{0} e^{(- \sqrt{5} + 3) x} + A_{1} e^{(- \sqrt{5} - 3) x} + 2 \end{array}$
と実数 $A_{0}, A_{1}$ を用いて表される。

$(2)$
$\begin{array}{r} \forall x > 0, y (x) > 0 \dots (*) \end{array}$

$(*)$ が成り立つ $y (x)$ を(1)の $A_{0}, A_{1}$ の値で場合分けして求める。

$A_{0} < 0$ のとき $A_{0} e^{(- \sqrt{5} + 3) x} \to - \infty, A_{1} e^{(- \sqrt{5} - 3) x} \to 0 (x \to \infty)$ なので, $y (x) \to - \infty (x \to \infty)$ となるから, $(*)$ は成り立たない。
$A_{0} = 0$ のときこの場合は $A_{1} > - 2$ のときのみ成り立つ。これを $A_{1}$ の値で場合分けして示そう。

$A_{1} ≧ 0$ のとき $(*)$ は明らかに成り立つ。
$- 2 < A_{1} < 0$ のとき $y (x)$ は, $x > 0$ で増加関数で, $y (0) = A_{1} + 2 > 0$ から $(*)$ が成り立つことが分かる。
$A_{1} ≦ - 2$ のとき $y (0) ≦ 0$ だから不適である。

$A_{0} > 0$ のときこの場合は任意の $A_{1}$ で $(*)$ は成り立つ。これも $A_{1}$ の値で場合分けする。

$A_{1} ≧ 0$ のときこれは明らかに $(*)$ が成り立っている
$A_{1} < 0$ のとき $y^{'} (x) = A_{0} (- \sqrt{5} + 3) e^{(- \sqrt{5} + 3) x} + A_{1} (- \sqrt{5} - 3) e^{(- \sqrt{5} - 3) x} > 0$ が任意の $x > 0$ で成り立っているから, $y (x)$ は増加関数で $y (0) > 0$ なので $(*)$ は成り立つ。

以上から, 以下の2条件 $1, 2$ のいずれかを満たす実数 $A_{0}, A_{1}$ を用いて表される
$\begin{array}{r} y (x) = A_{0} e^{(- \sqrt{5} + 3) x} + A_{1} e^{(- \sqrt{5} - 3) x} + 2 \end{array}$
が求める解である。