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圏論における随伴 Part2

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

今回は次の２つの随伴の定義が同値であることを見ていきます．

随伴(1)

$C, D$ を圏， $F : C \to D$ と $G : D \to C$ を関手とします．
この時，二つのhom関手
${Hom}_{D} (F (-), -) : C^{op} \times D \to Set$ と
${Hom}_{C} (-, G (-)) : C^{op} \times D \to Set$ が自然同型であるとき， $F$ は $G$ の左随伴（または $G$ は $F$ の右随伴）であるといい，記号では $F ⊣ G$ と書く．

随伴(2)

$C, D$ を圏， $F : C \to D$ と $G : D \to C$ を関手とします．
この時，二つの自然変換 $η : i d_{C} \to G F$ と $ε : F G \to i d_{D}$ が存在し，これらが三角等式
$F G F ε F F G F F η 1_{F} G 1_{G} η G G F G G ε$
を満たすとき， $⟨ F, G, η, ε ⟩$ を随伴と呼ぶ．また， $η$ を単位（unit）， $ε$ を余単位(counit)と呼ぶ．

(1)→(2)

$S t e p 1$ ．
単位 $η$ を $η_{X} = \overset{―}{i d_{F X}}$ ，余単位 $ε$ を $ε_{Y} = \overset{―}{i d_{G Y}}$ とおく．ここで，上棒は自然同型で移すことを表している．これら $η, ε$ が自然変換であることを確認します．
　まず，次の事実に注目します： $p \in {Hom}_{C} (F X^{'}, Y)$ ， $f \in {Hom}_{C} (X, X^{'})$ ， $g \in {Hom}_{D} (Y, Y^{'})$ について，
$\overset{―}{F X F f F X^{'} p Y g Y^{'}} = X f X^{'} \overset{―}{p} G Y G g G Y^{'}$
が成り立ちます．言い換えれば，
$F X F f F X^{'} p Y g Y^{'} = \overset{―}{X f X^{'} \overset{―}{p} G Y G g G Y^{'}}$
ですね．よって，
$\overset{―}{X η_{X} G F X G F f G F X^{'}} = \overset{―}{X \overset{―}{i d_{F X}} G F X G F f G F X^{'}} = F X F f F X^{'}$
です．また，
$\overset{―}{X f X^{'} η_{X^{'}} G F X^{'}} = \overset{―}{X f X^{'} \overset{―}{i d_{F X^{'}}} G F X^{'}} = F X F f F X^{'}$
も成り立ちます．よって $f : X \to X^{'}$ に対して $G F f \circ η_{X} = η_{X^{'}} \circ f$ が成り立ち， $η$ は自然変換です．同様にして（双対的に） $ε$ も自然変換であることが分かります．
$S t e p 2$ ．
三角等式が成り立つことを確認してください．
QED．

(2)→(1)

$S t e p 1$ ．
二つの自然変換を次のように定義する；
$φ : {Hom}_{D} (F (-), -) \to {Hom}_{C} (-, G (-))$ を $φ_{X, Y} (f) = G f \circ η_{X}$ ，
$ψ : {Hom}_{C} (-, G (-)) \to {Hom}_{D} (F (-), -)$ を $ψ_{X, Y} (g) = ε_{Y} \circ F g$
で定義する．これらが確かに自然変換であることを確認してください．
$S t e p 2$ ．
互いに逆写像であることを見ます．
$ψ_{X, Y} (φ_{X, Y} (f)) = ψ_{X, Y} (G f \circ η_{X}) = ε_{Y} \circ F G f \circ F η_{X} = f \circ ε_{F X} \circ F η_{X} = f$
最後の等式で三角等式を使いました．
同様にして（双対的に） $φ_{X, Y} (ψ_{X, Y} (g)) = g$ が成り立ちます．
QED．