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圏論における随伴 Part2

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今回は次の２つの随伴の定義が同値であることを見ていきます．

随伴(1)

$\mathcal{C},\mathcal{D}$を圏，$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$と$G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$を関手とします．
この時，二つのhom関手
$\text{Hom}_\mathcal{D}(F(-),-):\mathcal{C}^{\text{op}}\times \mathcal{D}\rightarrow \text{Set}$と
$\text{Hom}_\mathcal{C}(-,G(-)):\mathcal{C}^{\text{op}}\times \mathcal{D}\rightarrow \text{Set}$が自然同型であるとき，$F$は$G$の左随伴（または$G$は$F$の右随伴）であるといい，記号では$F\dashv G$と書く．

随伴(2)

$\mathcal{C},\mathcal{D}$を圏，$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$と$G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$を関手とします．
この時，二つの自然変換$\eta:id_\mathcal{C}\rightarrow GF$と$\varepsilon:FG\rightarrow id_\mathcal{D}$が存在し，これらが三角等式
$ \xymatrix{ FGF \ar[r]^-{\varepsilon F} &F& &G\\ F \ar[u]^{F\eta}\ar[ur]_{1_F} & &G\ar[ur]^{1_G}\ar[r]_-{\eta G}&GFG\ar[u]_{G\varepsilon} } $
を満たすとき，$\langle F,G,\eta,\varepsilon\rangle$を随伴と呼ぶ．また，$\eta$を単位（unit），$\varepsilon$を余単位(counit)と呼ぶ．

(1)→(2)

$Step1$．
単位$\eta$を$\eta_X=\overline{id_{FX}}$，余単位$\varepsilon$を$\varepsilon_Y=\overline{id_{GY}}$とおく．ここで，上棒は自然同型で移すことを表している．これら$\eta,\varepsilon$が自然変換であることを確認します．
　まず，次の事実に注目します：$p\in\text{Hom}_\mathcal{C}(FX',Y)$，$f\in\text{Hom}_\mathcal{C}(X,X')$，$g\in\text{Hom}_\mathcal{D}(Y,Y')$について，
$$\overline{\xymatrix@=10pt{FX\ar[r]_-{Ff}&FX'\ar[r]_-p&Y\ar[r]_-g&Y'}}=\xymatrix@=10pt{X\ar[r]_-f&X'\ar[r]_-{\overline{p}}&GY\ar[r]_{Gg}&GY'}$$
が成り立ちます．言い換えれば，
$$\xymatrix@=10pt{FX\ar[r]_-{Ff}&FX'\ar[r]_-p&Y\ar[r]_-g&Y'}=\overline{\xymatrix@=10pt{X\ar[r]_-f&X'\ar[r]_-{\overline{p}}&GY\ar[r]_{Gg}&GY'}} $$
ですね．よって，
$$\overline{\xymatrix@=12pt{X\ar[r]_-{\eta_X}&GFX\ar[r]_-{GFf}&GFX'}}=\overline{\xymatrix@=12pt{X\ar[r]_-{\overline{id_{FX}}}&GFX\ar[r]_-{GFf}&GFX'}}=\xymatrix@=10pt{FX\ar[r]_{Ff}&FX'}$$
です．また，
$$\overline{\xymatrix@=10pt{X\ar[r]_-f&X'\ar[r]_-{\eta_{X'}}&GFX'}}=\overline{\xymatrix@=10pt{X\ar[r]_-f&X'\ar[r]_-{\overline{id_{FX'}}}&GFX'}}=\xymatrix@=10pt{FX\ar[r]_{Ff}&FX'}$$
も成り立ちます．よって$f:X\rightarrow X'$に対して$GFf\circ\eta_X=\eta_{X'}\circ f$が成り立ち，$\eta$は自然変換です．同様にして（双対的に）$\varepsilon$も自然変換であることが分かります．
$Step2$．
三角等式が成り立つことを確認してください．
QED．

(2)→(1)

$Step1$．
二つの自然変換を次のように定義する；
$\varphi:\text{Hom}_\mathcal{D}(F(-),-)\rightarrow\text{Hom}_\mathcal{C}(-,G(-))$を$\varphi_{X,Y}(f)=Gf\circ \eta_X$，
$\psi:\text{Hom}_\mathcal{C}(-,G(-))\rightarrow\text{Hom}_\mathcal{D}(F(-),-)$を$\psi_{X,Y}(g)=\varepsilon_Y\circ Fg$
で定義する．これらが確かに自然変換であることを確認してください．
$Step2$．
互いに逆写像であることを見ます．
$\psi_{X,Y}(\varphi_{X,Y}(f))=\psi_{X,Y}(Gf\circ\eta_X)=\varepsilon_Y\circ FGf\circ F\eta_X=f\circ\varepsilon_{FX}\circ F\eta_X=f$
最後の等式で三角等式を使いました．
同様にして（双対的に）$\varphi_{X,Y}(\psi_{X,Y}(g))=g$が成り立ちます．
QED．