ラマヌジャンの公式集：初等的な恒等式

\begin{align} \sqrt{2(\sqrt{a^2+b^2}-a)(\sqrt{a^2+b^2}-b)}&=a+b-\sqrt{a^2+b^2}\\ \sqrt[3]{3(\sqrt[3]{a^3+b^3}-a)(\sqrt[3]{a^3+b^3}-b)}&=\sqrt[3]{(a+b)^2}-\sqrt[3]{a^2-ab+b^2} \end{align}

$$Bk^4-4Ak^3-8Bkp-4Ap=0$$
において
$$\sqrt{A+B\sqrt[3]p}=\sqrt{\frac B{p+k^3}}\l(\frac12k^2+k\sqrt[3]p-\sqrt[3]{p^2}\r)$$

$$\sqrt{m\sqrt[3]{4m-8n}+n\sqrt[3]{4m+n}} =\frac13(\sqrt[3]{(4m+n)^2}+\sqrt[3]{4(m-2n)(4m+n)}-\sqrt[3]{2(m-2n)^2})$$

\begin{align} &\sqrt[3]{(m^2+mn+n^2)\sqrt[3]{(m-n)(m+2n)(2m+n)}+3mn^2+n^3-m^3}\\ ={}&\sqrt[3]{\frac{(m-n)(m+2n)^2}9}-\sqrt[3]{\frac{(2m+n)(m-n)^2}9}+\sqrt[3]{\frac{(m+2n)(2m+n)^2}9} \end{align}

\begin{align} \sqrt[3]{\frac32(\sqrt[3]9-1)} &=\sqrt[3]{\cos40^\circ}+\sqrt[3]{\cos80^\circ}-\sqrt[3]{\cos20^\circ}\\ \sqrt[3]{6(\sqrt[3]9-1)} &=\frac1{\sqrt[3]{\cos40^\circ}}+\frac1{\sqrt[3]{\cos80^\circ}}-\frac1{\sqrt[3]{\cos20^\circ}} \end{align}

$$p^3+q^3+r^3=s^3$$
において
$$m=\pm(s+q)\sqrt{\frac{s-q}{r+p}},\quad n=\pm(r-p)\sqrt{\frac{r+p}{s-q}}$$
とおくと
$$(pa^2+mab-rb^2)^3+(qa^2-nab+sb^2)^3+(ra^2-mab-pb^2)^3=(sa^2-nab+qb^2)^3$$

$$(a+b)^2=x+na^2=y+nab=z+nb^2$$
において
$$x^2+(n-2)xz+z^2=ny^2$$

$$(a+b)^2=p+3a^2=q+3ab=r+3b^2$$
つまり
において
$$n(mp+nq)^3+m(mq+nr)^3=m(np+mq)^3+n(nq+mr)^3$$

$$(3a^2+5ab-5b^2)^3+(4a^2-4ab+6b^2)^3+(5a^2-5ab-3b^2)^3=(6a^2-4ab+4b^2)^3$$

\begin{align*} (8s^2+40st-24t^2)^4+(6s^2-44st-18t^2)^4+(14s^2-4st-42t^2)^4&\\ +(9s^2+27t^2)^4+(4s^2+12t^2)^4&=(15s^2+45t^2)^4\\ (4m^2-12n^2)^4+(3m^2+9n^2)^4+(2m^2-12mn-6n^2)^4&\\ +(4m^2+12n^2)^4+(2m^2+12mn-6n^2)^4&=(5m^2+15n^2)^4 \end{align*}

　$a+b+c=0$において
\begin{align} 2(ab+bc+ca)^2&=a^4+b^4+c^4\\ 2(ab+bc+ca)^4&=a^4(b-c)^4+b^4(c-a)^4+c^4(a-b)^4\\ 2(ab+bc+ca)^6&=(a^2b+b^2c+c^2a)^4+(ab^2+bc^2+ca^2)^4+(3abc)^4\\ 2(ab+bc+ca)^8&=(a^3+2abc)^4(b-c)^4+(b^3+2abc)^4(c-a)^4+(c^3+2abc)^4(a-b)^4 \end{align}

　$ad=bc$および$n=2,4$において
$$(a+b+c)^n+(b+c+d)^n+(a-d)^n=(c+d+a)^n+(d+a+b)^n+(b-c)^n$$

　$ad=bc$において
\begin{align} &64((a+b+c)^6+(b+c+d)^6-(c+d+a)^6-(d+a+b)^6+(a-d)^6-(b-c)^6)\\ &\times((a+b+c)^{10}+(b+c+d)^{10}-(c+d+a)^{10}-(d+a+b)^{10}+(a-d)^{10}-(b-c)^{10})\\ ={}&45((a+b+c)^8+(b+c+d)^8-(c+d+a)^8-(d+a+b)^8+(a-d)^8-(b-c)^8)^2 \end{align}

　$3k=a^2+ab+b^2$において
$$(ax^3+k)^3-(bx^3+k)^3=k((x^4+ax)^3-(x^4+bx))$$

$$(x^4+1)^4+4\l(\frac{x^5-5x}2\r)^4+5(x^4-2)^4=3^4+4\l(\frac{x^5+x}2\r)^4$$

$$(4x^4+1)^4+(4x^5-5x)^4+5(4x^4-2)^4=3^4+(4x^5+x)^4$$

$$(4x^4+1)^4+(4x^5-5x)^4+(6x^4-3)^4=3^4+(4x^5+x)^4+(2x^4-1)^4$$

　$\a^2+\a\b+\b^2=3\la\g^2$において
$$(\a+\la^2\g)^3+(\la\b+\g)^3=(\la\a+\g)^3+(\b+\la^2\g)^3$$

$$\sum^\infty_{n=0}\f{\frac np}x^n=\frac{x^p}{(1-x)(1-x^p)}$$

$$\f{\frac{n+4}6}-\f{\frac{n+3}6}+\f{\frac{n+2}6} =\bigg\lfloor\frac n2\bigg\rfloor-\bigg\lfloor\frac n3\bigg\rfloor$$

$$\f{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\f{\sqrt{4n+2}}$$

$$\f{\frac12+\sqrt{n+\frac12}}=\f{\frac12+\sqrt{n+\frac14}}$$