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数学史・伝記解説
文献あり

ラマヌジャンの公式集:初等的な恒等式

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{c}[0]{\cdot} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{f}[1]{\left\lfloor #1\right\rfloor} \newcommand{F}[4]{{}_2F_1\left(\begin{matrix}#1,#2\\#3\end{matrix};#4\right)} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{FF}[6]{{}_3F_2\left(\begin{matrix}#1,#2,#3\\#4,#5\end{matrix};#6\right)} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\operatorname{Gal}} \newcommand{H}[0]{\mathbb{H}} \newcommand{id}[0]{\operatorname{id}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{L}[0]{\Lambda} \newcommand{la}[0]{\lambda} \newcommand{La}[0]{\Lambda} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{li}[0]{\operatorname{li}} \newcommand{M}[4]{\begin{pmatrix}#1& #2\\#3& #4\end{pmatrix}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{o}[0]{\omega} \newcommand{O}[0]{\Omega} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{P}[0]{\mathfrak{P}} \newcommand{p}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{q}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vp}[0]{\varphi} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事ではラマヌジャンの発見した公式の数々を鑑賞していきます。
 今回はB.C. Berndtの"Ramanujan's Notebooks"の
・Part VI, Chap. 22 Elementary Results
・Part VI, Chap. 23 Number Theory
にて紹介されている公式を(独断と偏見により)いくつかピックアップして紹介していきます。

開方公式

 以下の$5$つの公式は"Elementary Results"の対応するEntryにて解説されている。

Entry 1 (改)

\begin{align} \sqrt{2(\sqrt{a^2+b^2}-a)(\sqrt{a^2+b^2}-b)}&=a+b-\sqrt{a^2+b^2}\\ \sqrt[3]{3(\sqrt[3]{a^3+b^3}-a)(\sqrt[3]{a^3+b^3}-b)}&=\sqrt[3]{(a+b)^2}-\sqrt[3]{a^2-ab+b^2} \end{align}

Entry 2

$$Bk^4-4Ak^3-8Bkp-4Ap=0$$
において
$$\sqrt{A+B\sqrt[3]p}=\sqrt{\frac B{p+k^3}}\l(\frac12k^2+k\sqrt[3]p-\sqrt[3]{p^2}\r)$$

Entry 23

$$\sqrt{m\sqrt[3]{4m-8n}+n\sqrt[3]{4m+n}} =\frac13(\sqrt[3]{(4m+n)^2}+\sqrt[3]{4(m-2n)(4m+n)}-\sqrt[3]{2(m-2n)^2})$$

Entry 24

\begin{align} &\sqrt[3]{(m^2+mn+n^2)\sqrt[3]{(m-n)(m+2n)(2m+n)}+3mn^2+n^3-m^3}\\ ={}&\sqrt[3]{\frac{(m-n)(m+2n)^2}9}-\sqrt[3]{\frac{(2m+n)(m-n)^2}9}+\sqrt[3]{\frac{(m+2n)(2m+n)^2}9} \end{align}

Entry 29

\begin{align} \sqrt[3]{\frac32(\sqrt[3]9-1)} &=\sqrt[3]{\cos40^\circ}+\sqrt[3]{\cos80^\circ}-\sqrt[3]{\cos20^\circ}\\ \sqrt[3]{6(\sqrt[3]9-1)} &=\frac1{\sqrt[3]{\cos40^\circ}}+\frac1{\sqrt[3]{\cos80^\circ}}-\frac1{\sqrt[3]{\cos20^\circ}} \end{align}

恒等式

 以下の$13$個の公式は"Number Theory"の対応するEntryにて解説されている。

Entry 1

$$p^3+q^3+r^3=s^3$$
において
$$m=\pm(s+q)\sqrt{\frac{s-q}{r+p}},\quad n=\pm(r-p)\sqrt{\frac{r+p}{s-q}}$$
とおくと
$$(pa^2+mab-rb^2)^3+(qa^2-nab+sb^2)^3+(ra^2-mab-pb^2)^3=(sa^2-nab+qb^2)^3$$

Entry 2

$$(a+b)^2=x+na^2=y+nab=z+nb^2$$
において
$$x^2+(n-2)xz+z^2=ny^2$$

Entry 3

$$(a+b)^2=p+3a^2=q+3ab=r+3b^2$$
つまり
において
$$n(mp+nq)^3+m(mq+nr)^3=m(np+mq)^3+n(nq+mr)^3$$

 このとき
\begin{align} p&=-2a^2+2ab+b^2\\ q&=a^2-ab+b^2\\ r&=a^2+2ab-2b^2 \end{align}
と表せることに注意する。

Entry 4

$$(3a^2+5ab-5b^2)^3+(4a^2-4ab+6b^2)^3+(5a^2-5ab-3b^2)^3=(6a^2-4ab+4b^2)^3$$

 これはEntry 1あるいはEntry 3の直系として得られる。

Entry 42

\begin{align*} (8s^2+40st-24t^2)^4+(6s^2-44st-18t^2)^4+(14s^2-4st-42t^2)^4&\\ +(9s^2+27t^2)^4+(4s^2+12t^2)^4&=(15s^2+45t^2)^4\\ (4m^2-12n^2)^4+(3m^2+9n^2)^4+(2m^2-12mn-6n^2)^4&\\ +(4m^2+12n^2)^4+(2m^2+12mn-6n^2)^4&=(5m^2+15n^2)^4 \end{align*}

ちなみにEntry 42, 44についてはラマヌジャンのノートブックに次のような具体例がみられる。 Notebook 3より
左のページついては[前に書いた記事](https://mathlog.info/articles/WpyJcz7DjhhvWArh214T)の最後にてちょっとした解説を載せている。 Notebook 3より
左のページついては 前に書いた記事 の最後にてちょっとした解説を載せている。

Entry 43

 $a+b+c=0$において
\begin{align} 2(ab+bc+ca)^2&=a^4+b^4+c^4\\ 2(ab+bc+ca)^4&=a^4(b-c)^4+b^4(c-a)^4+c^4(a-b)^4\\ 2(ab+bc+ca)^6&=(a^2b+b^2c+c^2a)^4+(ab^2+bc^2+ca^2)^4+(3abc)^4\\ 2(ab+bc+ca)^8&=(a^3+2abc)^4(b-c)^4+(b^3+2abc)^4(c-a)^4+(c^3+2abc)^4(a-b)^4 \end{align}

Entry 44

 $ad=bc$および$n=2,4$において
$$(a+b+c)^n+(b+c+d)^n+(a-d)^n=(c+d+a)^n+(d+a+b)^n+(b-c)^n$$

Entry 45

 $ad=bc$において
\begin{align} &64((a+b+c)^6+(b+c+d)^6-(c+d+a)^6-(d+a+b)^6+(a-d)^6-(b-c)^6)\\ &\times((a+b+c)^{10}+(b+c+d)^{10}-(c+d+a)^{10}-(d+a+b)^{10}+(a-d)^{10}-(b-c)^{10})\\ ={}&45((a+b+c)^8+(b+c+d)^8-(c+d+a)^8-(d+a+b)^8+(a-d)^8-(b-c)^8)^2 \end{align}

Entry 46

 $3k=a^2+ab+b^2$において
$$(ax^3+k)^3-(bx^3+k)^3=k((x^4+ax)^3-(x^4+bx))$$

Entry 47

$$(x^4+1)^4+4\l(\frac{x^5-5x}2\r)^4+5(x^4-2)^4=3^4+4\l(\frac{x^5+x}2\r)^4$$

Entry 48

$$(4x^4+1)^4+(4x^5-5x)^4+5(4x^4-2)^4=3^4+(4x^5+x)^4$$

Entry 49

$$(4x^4+1)^4+(4x^5-5x)^4+(6x^4-3)^4=3^4+(4x^5+x)^4+(2x^4-1)^4$$

Entry 50

 $\a^2+\a\b+\b^2=3\la\g^2$において
$$(\a+\la^2\g)^3+(\la\b+\g)^3=(\la\a+\g)^3+(\b+\la^2\g)^3$$

ガウス記号

 以下の$3$つの公式は"Number Theory"の対応するEntryにて解説されている。
 個人的な好みにより$x$を越えない最大の整数のことをガウス記号$[x]$ではなく床関数$\f x$によって表す。

Entry 6

$$\sum^\infty_{n=0}\f{\frac np}x^n=\frac{x^p}{(1-x)(1-x^p)}$$

Entry 22

$$\f{\frac{n+4}6}-\f{\frac{n+3}6}+\f{\frac{n+2}6} =\bigg\lfloor\frac n2\bigg\rfloor-\bigg\lfloor\frac n3\bigg\rfloor$$

Entry 23

$$\f{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\f{\sqrt{4n+2}}$$

Entry 24

$$\f{\frac12+\sqrt{n+\frac12}}=\f{\frac12+\sqrt{n+\frac14}}$$

参考文献

[1]
B. C. Berndt, Ramanujan's Notebooks Part IV, Springer, 1994
投稿日:19
更新日:113
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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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