【ゲージ理論】Chern-Weilの定理

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特性類速習(Chern-Weilの定理,Chern類,Pontrjagin類,Euler類)

特性類の一般論であるChern-Weil理論をまとめます。

不変多項式

$G$ をLie群、 $g$ をそのLie環とする。
多重線形写像
$f : g \times \dots \times g \to R$
が次の条件
(1) $f (X_{1}, \dots, X_{k})$ は $X_{i}$ について対称
(2) $f (A d (g) X_{1}, \dots, A d (g) X_{k}) = f (X_{1}, \dots, X_{k})$
を満たすときLie群 $G$ の $k$ 次不変多項式と呼ぶ。

Lie環のKilling形式は2次の不変多項式です（Appendix参照）。

Chern-Weilの定理

Lie群 $G$ の $k$ 次不変多項式 $f$ に $g$ に値を持つ2形式 $F$ を代入することができます。
すなわち $g$ の基底を ${X_{a}}$ とし、 $F = \sum_{a} F^{a} X_{a}$ と表すとき
$f (F \land \dots \land F) = \sum_{a_{1}, \dots, a_{k}} f (X_{a_{1}}, \dots, X_{a_{k}}) F^{a_{1}} \land \dots \land F^{a_{k}}$
と定義します。
$F^{a}$ は2形式なので $\land$ 積を普通の数の積と思うと $g$ を代入するときと同様の計算です。

Chern-Weilの定理

$P = P (M, G)$ を $M$ 上の主 $G$ 束とし、 $f$ を $G$ の $k$ 次不変多項式とする。
このとき次が成り立つ。

(1) $A$ を $P$ の任意の接続とし、曲率を $F$ とする。
$f (F \land \dots \land F)$ は $M$ 上の閉 $2 k$ 形式である。

(2) $P$ の任意の接続 $A, A^{'}$ に対して、曲率をそれぞれ $F, F^{'}$ とするとき、 $θ \in Ω^{2 k - 1} (M)$ が存在して、
$f (F \land \dots \land F) - f (F^{'} \land \dots \land F^{'}) = d θ$
が成り立つ。

これより、接続の取り方には依存せず $P$ と $f$ のみから $M$ のde Rhamコホモロジー類 $[f (F \land \dots \land F)]$ が定まります。
これを $f$ に関する $P$ の特性類と呼びます。
特性類は主束 $P$ の束不変量を与えます。

$f$ は不変多項式であるから、局所自明化の仕方によらず $f (F \land \dots \land F)$ は $2 k$ 形式を定める。
$\begin{aligned} d f (F \land \dots \land F) & = \sum_{a_{1}, \dots, a_{k}} f (X_{a_{1}}, \dots, X_{a_{k}}) d (F^{a_{1}} \land \dots \land F^{a_{k}}) \\ = \sum_{i} \sum_{a_{1}, \dots, a_{k}} f (X_{a_{1}}, \dots, X_{a_{k}}) F^{a_{1}} \land \dots \land d F^{a_{i}} \land \dots \land F^{a_{k}} \\ = \sum_{i} f (F \land \dots \land d F \land \dots \land F) \end{aligned}$
ここでBianchi恒等式 $d_{A} F = d F + [A, F] = 0$ より
$\begin{aligned} d f (F \land \dots \land F) & = - \sum_{i} f (F \land \dots \land [A, F] \land \dots \land F) \\ = - \sum_{i} \sum_{a_{1}, \dots, a_{k}} f (X_{a_{1}}, \dots, [X_{a}, X_{a_{i}}], \dots, X_{a_{k}}) F^{a_{1}} \land \dots \land A^{a} \land F^{a_{i}} \land \dots \land F^{a_{k}} \\ = - \sum_{a_{1}, \dots, a_{k}} (\sum_{i} f (X_{a_{1}}, \dots, [X_{a}, X_{a_{i}}], \dots, X_{a_{k}})) F^{a_{1}} \land \dots \land F^{a_{k}} \land A^{a} \end{aligned}$
となる。
$f$ は随伴不変であるからこれは０である。

$A^{'} - A = α$ とし、 $A_{t} := A + t α$ とおく。
$\begin{aligned} F_{t} & = d A_{t} + \frac{1}{2} [A_{t} \land A_{t}] = F + t d α + t [A \land α] + \frac{1}{2} t^{2} [α \land α] \\ \frac{d}{d t} F_{t} & = d α + [A \land α] + t [α \land α] = d α + [A_{t}, α] \dots (1) \end{aligned}$
が成り立つ。
さらに
$d f (α \land F_{t} \land \dots \land F_{t}) = f (d α \land F_{t} \land \dots \land F_{t}) + \sum f (α \land F_{t} \land \dots \land d F_{t} \land \dots \land F_{t})$
にBianchi恒等式とeq(1)を代入すると
$\begin{aligned} d f (α \land F_{t} \land \dots \land F_{t}) & = f (\frac{d}{d t} F_{t} \land F_{t} \land \dots \land F_{t}) - f ([A_{t}, α] \land F_{t} \land \dots \land F_{t}) \\ - \sum f (α \land F_{t} \land \dots \land [A_{t}, F_{t}] \land \dots \land F_{t}) \end{aligned}$
となる。先と同様に $f$ の随伴不変性を使うと
$\begin{array}{r} d f (α \land F_{t} \land \dots \land F_{t}) = f (\frac{d}{d t} F_{t} \land F_{t} \land \dots \land F_{t}) = \frac{1}{k} \frac{d}{d t} f (F_{t} \land F_{t} \land \dots \land F_{t}) \end{array}$
が成り立つ。
よって $\int_{0}^{1} d t$ すると
$\begin{array}{r} f (F^{'} \land \dots \land F^{'}) - f (F \land \dots \land F) = k \int_{0}^{1} d f (α \land F_{t} \land \dots \land F_{t}) d t = d θ \in Ω^{2 k - 1} (M) \end{array}$

ベクトル束はある主束の同伴束なのでその主束の束不変量を計算することでそのベクトル束の束不変量を計算することができます。
ベクトル束に対してはChern類、Pontrjagin類、Euler類があります。

Appendix

Killing formのAd不変性

Killing形式 $B : g \times g \to R$ は
$B (X, Y) := T r (a d (X) a d (Y))$
で与えられます。

$B (A d (g) X, A d (g) Y) = B (X, Y), X, Y \in g, g \in G$

$ρ : g \to gl (V)$ を任意の表現とする。
$B_{ρ} : g \times g \to R$ を
$B_{ρ} (X, Y) = T r (ρ (X) ρ (Y))$
と定義する。
$\begin{aligned} B_{ρ} ([Z, X], Y) & = T r (ρ (Z) ρ (X) ρ (Y)) - T r (ρ (X) ρ (Z) ρ (Y)) \\ = T r (ρ (X) ρ (Y) ρ (Z)) - T r (ρ (X) ρ (Z) ρ (Y)) \\ = T r (ρ (X) ρ ([Y, Z])) \\ = - B_{ρ} (X, [Z, Y]) \end{aligned}$
であるから、
$\begin{array}{r} \frac{d}{d t} B_{ρ} (A d (e^{t Z}) X, A d (e^{t Z}) Y) |_{t = 0} = 0 \end{array}$
となる。
$\begin{array}{r} A d (e^{(t_{1} + t_{2}) Z}) X = A d (e^{t_{1} Z}) A d (e^{t_{2} Z}) \end{array}$
であることを考えると、
$\begin{array}{r} \frac{d}{d t} B_{ρ} (A d (e^{t Z}) X, A d (e^{t Z}) Y) = 0 \end{array}$
となるから、主張が得られる。

投稿日：2023年5月7日

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Submersion

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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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