特性類速習(Chern-Weilの定理,Chern類,Pontrjagin類,Euler類)
特性類の一般論であるChern-Weil理論をまとめます。
$G$をLie群、$\mathfrak{g}$をそのLie環とする。
多重線形写像
$$
f:\mathfrak{g}\times\cdots\times \mathfrak{g}\to\mathbb{R}
$$
が次の条件
(1) $f(X_1,\cdots,X_k)$は$X_i$について対称
(2) $f(Ad(g)X_1,\cdots,Ad(g)X_k)=f(X_1,\cdots,X_k)$
を満たすときLie群$G$の$k$次不変多項式と呼ぶ。
Lie環のKilling形式は2次の不変多項式です(Appendix参照)。
Lie群$G$の$k$次不変多項式$f$に$\mathfrak{g}$に値を持つ2形式$F$を代入することができます。
すなわち$\mathfrak{g}$の基底を$\{X_a\}$とし、$F=\sum_aF^aX_a$と表すとき
$$
f(F\wedge\cdots\wedge F)=\sum_{a_1,\cdots,a_k}f(X_{a_1},\cdots,X_{a_k})F^{a_1}\wedge\cdots\wedge F^{a_k}
$$
と定義します。
$F^a$は2形式なので$\wedge$積を普通の数の積と思うと$\mathfrak{g}$を代入するときと同様の計算です。
$P=P(M,G)$を$M$上の主$G$束とし、$f$を$G$の$k$次不変多項式とする。
このとき次が成り立つ。
(1)$A$を$P$の任意の接続とし、曲率を$F$とする。
$f(F\wedge\cdots\wedge F)$は$M$上の閉$2k$形式である。
(2)$P$の任意の接続$A,A'$に対して、曲率をそれぞれ$F,F'$とするとき、$\theta\in\Omega^{2k-1}(M)$が存在して、
$$
f(F\wedge\cdots\wedge F)-f(F'\wedge\cdots\wedge F')=d\theta
$$
が成り立つ。
これより、接続の取り方には依存せず$P$と$f$のみから$M$のde Rhamコホモロジー類$[f(F\wedge\cdots\wedge F)]$が定まります。
これを$f$に関する$P$の特性類と呼びます。
特性類は主束$P$の束不変量を与えます。
$f$は不変多項式であるから、局所自明化の仕方によらず$f(F\wedge\cdots\wedge F)$は$2k$形式を定める。
\begin{align}
df(F\wedge\cdots\wedge F)&=\sum_{a_1,\cdots,a_k}f(X_{a_1},\cdots,X_{a_k})d(F^{a_1}\wedge\cdots\wedge F^{a_k})\\
&=\sum_i\sum_{a_1,\cdots,a_k}f(X_{a_1},\cdots,X_{a_k})F^{a_1}\wedge\cdots\wedge
dF^{a_i} \wedge\cdots\wedge F^{a_k}\\
&=\sum_if(F\wedge\cdots\wedge dF\wedge\cdots\wedge F)
\end{align}
ここでBianchi恒等式$d_AF=dF+[A,F]=0$より
\begin{align}
df(F\wedge\cdots\wedge F)&=-\sum_if(F\wedge\cdots\wedge [A,F]\wedge\cdots\wedge F)\\
&=-\sum_i\sum_{a_1,\cdots,a_k}f(X_{a_1},\cdots,[X_a,X_{a_i}],\cdots,X_{a_k})F^{a_1}\wedge\cdots\wedge
A^a\wedge F^{a_i} \wedge\cdots\wedge F^{a_k}\\
&=-\sum_{a_1,\cdots,a_k}(\sum_if(X_{a_1},\cdots,[X_a,X_{a_i}],\cdots,X_{a_k}))F^{a_1}\wedge\cdots\wedge F^{a_k}\wedge A^a
\end{align}
となる。
$f$は随伴不変であるからこれは0である。
$A'-A=\alpha$とし、$A_t:=A+t\alpha$とおく。
\begin{align}
F_t&=dA_t+\frac{1}{2}[A_t\wedge A_t]=F+td\alpha+t[A\wedge\alpha]+\frac{1}{2}t^2[\alpha\wedge\alpha]\\
\frac{d}{dt}F_t&=d\alpha+[A\wedge\alpha]+t[\alpha\wedge\alpha]=d\alpha+[A_t,\alpha]\cdots(1)
\end{align}
が成り立つ。
さらに
$$
df(\alpha\wedge F_t\wedge\cdots\wedge F_t)=f(d\alpha\wedge F_t\wedge\cdots\wedge F_t)+\sum f(\alpha\wedge F_t\wedge\cdots\wedge dF_t\wedge\cdots\wedge F_t)
$$
にBianchi恒等式とeq(1)を代入すると
\begin{align}
df(\alpha\wedge F_t\wedge\cdots\wedge F_t)&=f(\frac{d}{dt}F_t\wedge F_t\wedge\cdots\wedge F_t)-f([A_t,\alpha]\wedge F_t\wedge\cdots\wedge F_t)\\
&-\sum f(\alpha\wedge F_t\wedge\cdots\wedge [A_t,F_t]\wedge\cdots\wedge F_t)
\end{align}
となる。先と同様に$f$の随伴不変性を使うと
\begin{align}
df(\alpha\wedge F_t\wedge\cdots\wedge F_t)=f(\frac{d}{dt}F_t\wedge F_t\wedge\cdots\wedge F_t)=\frac{1}{k}\frac{d}{dt}f(F_t\wedge F_t\wedge\cdots\wedge F_t)
\end{align}
が成り立つ。
よって$\int^1_0dt$すると
\begin{align}
f(F'\wedge\cdots\wedge F')-f(F\wedge\cdots\wedge F)=k\int^1_0df(\alpha\wedge F_t\wedge\cdots\wedge F_t)dt=d\theta\in\Omega^{2k-1}(M)
\end{align}
ベクトル束はある主束の同伴束なのでその主束の束不変量を計算することでそのベクトル束の束不変量を計算することができます。
ベクトル束に対してはChern類、Pontrjagin類、Euler類があります。
Killing形式$B:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathbb{R}$は
$$
B(X,Y):={\rm Tr}(ad(X)ad(Y))
$$
で与えられます。
$B(Ad(g)X,Ad(g)Y)=B(X,Y),\ X,Y\in\mathfrak{g},g\in G$
$\rho:\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(V)$を任意の表現とする。
$B_\rho:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathbb{R}$を
$$
B_\rho(X,Y)={\rm Tr}(\rho(X)\rho(Y))
$$
と定義する。
\begin{align}
B_\rho([Z,X],Y)&={\rm Tr}(\rho(Z)\rho(X)\rho(Y))-{\rm Tr}(\rho(X)\rho(Z)\rho(Y))\\
&={\rm Tr}(\rho(X)\rho(Y)\rho(Z))-{\rm Tr}(\rho(X)\rho(Z)\rho(Y))\\
&={\rm Tr}(\rho(X)\rho([Y,Z]))\\
&=-B_\rho(X,[Z,Y])
\end{align}
であるから、
\begin{align}
\frac{d}{dt}B_\rho(Ad(e^{tZ})X,Ad(e^{tZ})Y)|_{t=0}=0
\end{align}
となる。
\begin{align}
Ad(e^{(t_1+t_2)Z})X=Ad(e^{t_1Z})Ad(e^{t_2Z})
\end{align}
であることを考えると、
\begin{align}
\frac{d}{dt}B_\rho(Ad(e^{tZ})X,Ad(e^{tZ})Y)=0
\end{align}
となるから、主張が得られる。