3

乗法的微積分における三角関数みたいなやつ

96
0
\newcommand{cop}[0]{\mathrm{co \pi}} \newcommand{genprodsum}[4]{{}^{#3}\!\!\underset{#1}{\overset{#2}{\Large \triangle{}}}#4} \newcommand{gprod}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{\prod{}}}#3} \newcommand{gsum}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{\sum{}}}#3} \newcommand{pan}[0]{\mathrm{\pi an}} \newcommand{pin}[0]{\mathrm{\pi in}} \newcommand{prodsum}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{\huge \triangle{}}}#3} \newcommand{tangle}[2]{\underset{#1}{\overset{#2}{\Large \mathrm{T}}}}}

ごあいさつ

こんにちは。Nappleです。

最近乗法的積分(絡分)についての記事をいろいろと書いていましたが、
今回は乗法的積分における三角関数みたいなやつを定義して、その性質を調べます。

概要

以下の関数を定義し、乗法的積分において三角関数に相当する性質を持つことを示した。

乗法的三角関数

πinx:=esinx
coπx:=ecosx
πanx:=etanx

定義する

導入

三角関数ってありますよね。
sin,cos,tanとかのことです。

これらの主要な性質として以下のようなものがあります。

三角関数の微分

sinxDxcosxDxsinxDxcosxDxsinxDx

Dxxに関する微分を意味する

4回微分すると元に戻るんですね。

この性質に着目して乗法的積分における三角関数っぽいもの(以下 乗法的三角関数と呼ぶ)を定義してみましょう。

導出

πinx

作りたいものは以下①を満たすような関数πinxです。

Tx4πinx=πinx
Txxに関する乗法的微分(解分)を意味する。

ここで、Txnf(x)については以下が成り立ちます。

n階解分

Txnf(x)=expdndxnlnf(x)

Txnf(x)=expddxlnexpddxlnexpddxlnf(x)=expdndxnlnf(x)

なので、①の式は以下のように変形できます。
Tx4πinx=πinxexpd4dx4lnπinx=πinxd4dx4lnπinx=lnπinx
lnπinxsinxのような状態になっていることがわかります。
ですので、ここでは単にlnπinx=sinxつまり

πinx:=esinx

とすれば
πinxは①の式を満たします。

coπx

また、Dxsinx=cosxであることから、Txπinx=coπxとなるcoπxを考えます。
これは計算すると
coπx=Txπinx=expddxlnesinx=expddxsinx=ecosx
なので、
coπx:=ecosx
と定義します。

πanx

同様にして、πin,coπがそれぞれesinx,ecosxだったので、
πanx:=etanx
と定義します。

定義まとめ

乗法的三角関数

πinx:=esinx
coπx:=ecosx
πanx:=etanx

余談

どうでもいいですが、πinはパイン、coπはコパイン、πanはパンジェントと読みます。
πinπは総乗のΠと同じ気持ちだと思ってください。

性質を調べる

概形(グラフ)

乗法的三角関数のグラフ(赤:!FORMULA[41][1669368783][0] 青:!FORMULA[42][1302790528][0] 緑:!FORMULA[43][1661980615][0]) 乗法的三角関数のグラフ(赤:πinx 青:coπx 緑:πanx)

乗法的微分公式

Txπinx=coπxTxcoπx=1πinxTx1πinx=1coπxTx1coπx=πinx

πan の乗法的微分

Txπanx=exp(1cos2x)Tx1πanx=1Txπanx=exp(1cos2x)

周期性

πin(x+2π)=πinxcoπ(x+2π)=coπxπan(x+2π)=πanx

まあ基本的な性質を書いてきたわけですけど、
結局は三角関数のもつ性質からどれも簡単に導出できますね。

おまけ

じゃあ同じやり方で、乗法的微積分における他の関数も定義できそうですね。

例えば

関数与えたい性質乗法的微積分版
f(x)=exTxF=FF(x)=eex
f(x)=lnxTxF=1/xF(x)=ex(lnx1)

みたいに...

(解分方程式...?)

まとめ

最近、Mathlogでも乗法的微積分が盛り上がってきているようでなんとなく嬉しいです。
またなにか気づいたら記事にします。それでは〜

投稿日:20241017
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

🤔 数学の専門ではないです。 思いついたことを書きます。

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中
  1. ごあいさつ
  2. 概要
  3. 定義する
  4. 導入
  5. 導出
  6. 定義まとめ
  7. 余談
  8. 性質を調べる
  9. 概形(グラフ)
  10. おまけ
  11. まとめ