前提知識
体論
一応私が参考にした本を参考文献に載せておく。
これの章を読んでおけば理解することはできると思う。
本題
を個の異なる、平方因子を持たない整数とする。
である。
ここで、は、有理数体にを添加した体とする。
この記事では、上の命題を証明することを目標とする。
だが、証明に進む前に、使う定理を書いておく。
命題7.1.1(3)
を体とする。が上代数的とするとき、次が成り立つ。
がの最小多項式とし、とすると、である。
また、の上の基底としてが取れる。
系7.4.5
を有限次ガロア拡大、とするとき、次のは同値である。
は上共役である。
があり、となる。
上の三つの定理の証明は1の第章節、節に載っているため省略する。
命題7.1.1、系7.4.5は1内の名称である。この記事内でも同様に呼ぶことにする。
では証明に入る。
まず、、、と置く。
なのではの拡大体であり、であることを示せばいい。
であるので、であることを示す。
ここで、は、の上の最小多項式の次数であり、上の共役の個数である。
ここではがロア拡大であることと、であることから共役はすべての元。
ここで、系7.4.5よりをの共役とすると、
がありである。(これは同値)
よっての値の数だけ共役が存在する。
で、ならであることを示す。
となる。
なので、
とすると、
だが、はの上の基底の一部なので一次独立。
よって。
。
は上を生成するので。
よっての値の数は個ある。
これはであることを示しており、である。□
なかなかに端折ったので、わかりにくいところがあれば質問してほしい。
それでは以上である。