有理数体に平方根を添加した体
前提知識
体論
一応私が参考にした本を参考文献に載せておく。
これの$7$章を読んでおけば理解することはできると思う。
本題
$p_1,p_2,\cdots,p_n$を$n$個の異なる、平方因子を持たない整数とする。
$ \mathbb Q( \sqrt{p_1} + \sqrt{p_2} + \cdots + \sqrt{p_n})=\mathbb Q(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},\cdots,\sqrt{p_n})$である。
ここで、$\mathbb{Q}(\alpha)$は、有理数体$\mathbb Q$に$\alpha$を添加した体とする。
この記事では、上の命題を証明することを目標とする。
だが、証明に進む前に、使う定理を書いておく。
$K$を体とする。$\alpha$が$K$上代数的とするとき、次が成り立つ。
$f(x)\in K[x]$が$\alpha$の最小多項式とし、$deg f(x)=n$とすると、$[K(\alpha):K]=n$である。
また、$K(\alpha)$の$K$上の基底として${{1,\alpha,\alpha^2,\cdots,\alpha^{n-1}}}$が取れる。
$L/K$を有限次ガロア拡大、$\alpha,\beta\in L$とするとき、次の$(1),(2)$は同値である。
$(1)$ $\alpha,\beta$は$K$上共役である。
$(2)$ $σ\in Gal(L/K)$があり、$σ(\alpha)=\beta$となる。
上の三つの定理の証明は1の第$7$章$1$節$p.199$、$7$節$p.215$に載っているため省略する。
命題7.1.1、系7.4.5は1内の名称である。この記事内でも同様に呼ぶことにする。
では証明に入る。
まず、$L=\mathbb Q(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},\cdots,\sqrt{p_n})$、$M=\mathbb Q( \sqrt{p_1} + \sqrt{p_2} + \cdots + \sqrt{p_n})$、と置く。
$M\subset L$なので$L$は$M$の拡大体であり、$[L:M]=1$であることを示せばいい。
$[L:\mathbb Q]=2^n$であるので、$[M:\mathbb Q]=2^n$であることを示す。
ここで、$[M:\mathbb Q]$は、$\sqrt{p_1} + \sqrt{p_2} + \cdots + \sqrt{p_n}$の$\mathbb Q$上の最小多項式の次数であり、$\mathbb Q$上の共役の個数である。
ここで$L/\mathbb Q$はがロア拡大であることと、$\sqrt{p_1} + \sqrt{p_2} + \cdots + \sqrt{p_n}\in L$であることから共役はすべて$L$の元。
ここで、系7.4.5より$a$を$\sqrt{p_1} + \sqrt{p_2} + \cdots + \sqrt{p_n}$の共役とすると、
$σ\in Gal(L/\mathbb Q)$があり$σ(\sqrt{p_1} + \sqrt{p_2} + \cdots + \sqrt{p_n})=a$である。(これは同値)
よって$σ(\sqrt{p_1} + \sqrt{p_2} + \cdots + \sqrt{p_n})$の値の数だけ共役が存在する。
$σ,τ\in Gal(L/\mathbb Q)$で、$σ(\sqrt{p_1} + \sqrt{p_2} + \cdots + \sqrt{p_n})=τ(\sqrt{p_1} + \sqrt{p_2} + \cdots + \sqrt{p_n})$なら$σ=τ$であることを示す。
$σ(\sqrt{p_1} + \sqrt{p_2} + \cdots + \sqrt{p_n})=τ(\sqrt{p_1} + \sqrt{p_2} + \cdots + \sqrt{p_n})\Longrightarrow(σ(\sqrt{p_1})-τ(\sqrt{p_1}))+\cdots +σ(\sqrt{p_n})-τ(\sqrt{p_n}))=0$
となる。
$σ(\sqrt{p_i})-τ(\sqrt{p_i})=2\sqrt{p_i},-2\sqrt{p_i},0$なので、
$a_i\sqrt{p_i}=σ(\sqrt{p_i})-τ(\sqrt{p_i})$とすると、
$a_1\sqrt{p_1}+\cdots + a_n\sqrt{p_n}=0$だが、${\sqrt{p_1},\cdots,\sqrt{p_n}}$は$L$の$\mathbb Q$上の基底の一部なので一次独立。
よって$a_1,\cdots,a_n=0$。
$σ(\sqrt{p_i})=τ(\sqrt{p_i})$。
${\sqrt{p_1},\cdots,\sqrt{p_n}}$は$\mathbb Q$上$L$を生成するので$σ=τ$。
よって$σ(\sqrt{p_1} + \sqrt{p_2} + \cdots + \sqrt{p_n})$の値の数は$|Gal(L/\mathbb Q)|=[L:\mathbb Q]=2^n$個ある。
これは$[M:\mathbb Q]=2^n$であることを示しており、$[L:M]=1\Longrightarrow L=M$である。□
なかなかに端折ったので、わかりにくいところがあれば質問してほしい。
それでは以上である。
参考文献
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