文献あり

有理数体に平方根を添加した体

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前提知識

体論
一応私が参考にした本を参考文献に載せておく。
これの $7$ 章を読んでおけば理解することはできると思う。

本題

$p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ を $n$ 個の異なる、平方因子を持たない整数とする。
$Q (\sqrt{p_{1}} + \sqrt{p_{2}} + \dots + \sqrt{p_{n}}) = Q (\sqrt{p_{1}}, \sqrt{p_{2}}, \dots, \sqrt{p_{n}})$ である。

ここで、 $Q (α)$ は、有理数体 $Q$ に $α$ を添加した体とする。
この記事では、上の命題を証明することを目標とする。
だが、証明に進む前に、使う定理を書いておく。

命題7.1.1(3)

$K$ を体とする。 $α$ が $K$ 上代数的とするとき、次が成り立つ。
$f (x) \in K [x]$ が $α$ の最小多項式とし、 $d e g f (x) = n$ とすると、 $[K (α) : K] = n$ である。
また、 $K (α)$ の $K$ 上の基底として $1, α, α^{2}, \dots, α^{n - 1}$ が取れる。

系7.4.5

$L / K$ を有限次ガロア拡大、 $α, β \in L$ とするとき、次の $(1), (2)$ は同値である。
$(1)$ $α, β$ は $K$ 上共役である。
$(2)$ $σ \in G a l (L / K)$ があり、 $σ (α) = β$ となる。

上の三つの定理の証明は[1]の第 $7$ 章 $1$ 節 $p .199$ 、 $7$ 節 $p .215$ に載っているため省略する。
命題7.1.1、系7.4.5は[1]内の名称である。この記事内でも同様に呼ぶことにする。
では証明に入る。

まず、 $L = Q (\sqrt{p_{1}}, \sqrt{p_{2}}, \dots, \sqrt{p_{n}})$ 、 $M = Q (\sqrt{p_{1}} + \sqrt{p_{2}} + \dots + \sqrt{p_{n}})$ 、と置く。
$M \subset L$ なので $L$ は $M$ の拡大体であり、 $[L : M] = 1$ であることを示せばいい。
$[L : Q] = 2^{n}$ であるので、 $[M : Q] = 2^{n}$ であることを示す。
ここで、 $[M : Q]$ は、 $\sqrt{p_{1}} + \sqrt{p_{2}} + \dots + \sqrt{p_{n}}$ の $Q$ 上の最小多項式の次数であり、 $Q$ 上の共役の個数である。
ここで $L / Q$ はがロア拡大であることと、 $\sqrt{p_{1}} + \sqrt{p_{2}} + \dots + \sqrt{p_{n}} \in L$ であることから共役はすべて $L$ の元。
ここで、系7.4.5より $a$ を $\sqrt{p_{1}} + \sqrt{p_{2}} + \dots + \sqrt{p_{n}}$ の共役とすると、
$σ \in G a l (L / Q)$ があり $σ (\sqrt{p_{1}} + \sqrt{p_{2}} + \dots + \sqrt{p_{n}}) = a$ である。(これは同値)
よって $σ (\sqrt{p_{1}} + \sqrt{p_{2}} + \dots + \sqrt{p_{n}})$ の値の数だけ共役が存在する。
$σ, τ \in G a l (L / Q)$ で、 $σ (\sqrt{p_{1}} + \sqrt{p_{2}} + \dots + \sqrt{p_{n}}) = τ (\sqrt{p_{1}} + \sqrt{p_{2}} + \dots + \sqrt{p_{n}})$ なら $σ = τ$ であることを示す。
$σ (\sqrt{p_{1}} + \sqrt{p_{2}} + \dots + \sqrt{p_{n}}) = τ (\sqrt{p_{1}} + \sqrt{p_{2}} + \dots + \sqrt{p_{n}}) ⟹ (σ (\sqrt{p_{1}}) - τ (\sqrt{p_{1}})) + \dots + σ (\sqrt{p_{n}}) - τ (\sqrt{p_{n}})) = 0$
となる。
$σ (\sqrt{p_{i}}) - τ (\sqrt{p_{i}}) = 2 \sqrt{p_{i}}, - 2 \sqrt{p_{i}}, 0$ なので、
$a_{i} \sqrt{p_{i}} = σ (\sqrt{p_{i}}) - τ (\sqrt{p_{i}})$ とすると、
$a_{1} \sqrt{p_{1}} + \dots + a_{n} \sqrt{p_{n}} = 0$ だが、 $\sqrt{p_{1}}, \dots, \sqrt{p_{n}}$ は $L$ の $Q$ 上の基底の一部なので一次独立。
よって $a_{1}, \dots, a_{n} = 0$ 。
$σ (\sqrt{p_{i}}) = τ (\sqrt{p_{i}})$ 。
$\sqrt{p_{1}}, \dots, \sqrt{p_{n}}$ は $Q$ 上 $L$ を生成するので $σ = τ$ 。
よって $σ (\sqrt{p_{1}} + \sqrt{p_{2}} + \dots + \sqrt{p_{n}})$ の値の数は $| G a l (L / Q) | = [L : Q] = 2^{n}$ 個ある。
これは $[M : Q] = 2^{n}$ であることを示しており、 $[L : M] = 1 ⟹ L = M$ である。□