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大学数学基礎解説
文献あり

有理数体に平方根を添加した体

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前提知識

体論
一応私が参考にした本を参考文献に載せておく。
これの7章を読んでおけば理解することはできると思う。

本題

p1,p2,,pnn個の異なる、平方因子を持たない整数とする。
Q(p1+p2++pn)=Q(p1,p2,,pn)である。

ここで、Q(α)は、有理数体Qαを添加した体とする。
この記事では、上の命題を証明することを目標とする。
だが、証明に進む前に、使う定理を書いておく。

命題7.1.1(3)

Kを体とする。αK上代数的とするとき、次が成り立つ。
f(x)K[x]αの最小多項式とし、degf(x)=nとすると、[K(α):K]=nである。
また、K(α)K上の基底として1,α,α2,,αn1が取れる。

系7.4.5

L/Kを有限次ガロア拡大、α,βLとするとき、次の(1),(2)は同値である。
(1) α,βK上共役である。
(2) σGal(L/K)があり、σ(α)=βとなる。

上の三つの定理の証明は1の第71p.1997p.215に載っているため省略する。
命題7.1.1、系7.4.5は1内の名称である。この記事内でも同様に呼ぶことにする。
では証明に入る。

まず、L=Q(p1,p2,,pn)M=Q(p1+p2++pn)、と置く。
MLなのでLMの拡大体であり、[L:M]=1であることを示せばいい。
[L:Q]=2nであるので、[M:Q]=2nであることを示す。
ここで、[M:Q]は、p1+p2++pnQ上の最小多項式の次数であり、Q上の共役の個数である。
ここでL/Qはがロア拡大であることと、p1+p2++pnLであることから共役はすべてLの元。
ここで、系7.4.5よりap1+p2++pnの共役とすると、
σGal(L/Q)がありσ(p1+p2++pn)=aである。(これは同値)
よってσ(p1+p2++pn)の値の数だけ共役が存在する。
σ,τGal(L/Q)で、σ(p1+p2++pn)=τ(p1+p2++pn)ならσ=τであることを示す。
σ(p1+p2++pn)=τ(p1+p2++pn)(σ(p1)τ(p1))++σ(pn)τ(pn))=0
となる。
σ(pi)τ(pi)=2pi,2pi,0なので、
aipi=σ(pi)τ(pi)とすると、
a1p1++anpn=0だが、p1,,pnLQ上の基底の一部なので一次独立。
よってa1,,an=0
σ(pi)=τ(pi)
p1,,pnQLを生成するのでσ=τ
よってσ(p1+p2++pn)の値の数は|Gal(L/Q)|=[L:Q]=2n個ある。
これは[M:Q]=2nであることを示しており、[L:M]=1L=Mである。□

なかなかに端折ったので、わかりにくいところがあれば質問してほしい。
それでは以上である。

参考文献

[1]
雪江明彦, 整数論1ー初等整数論からp進数へ, 整数論, 日本評論社, 20222
投稿日:2024113
更新日:2024113
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ringo
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ヱヴァが好きなRingo(知恵の実)です。 得意分野は数論 学生です

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