リー群勉強したい(備忘録)

とりあえず出力された演習問題を解いてイメージを掴む予定。

第1問：回転群 $SO(2)$ と「形」の理解2次元の回転行列の集合 $SO(2)$ を考えます。

$$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$積の閉性: $R(\alpha)$ と $R(\beta)$ の積が、再び $R(\text{何か})$ の形になることを示してください。多様体の形: パラメータ $\theta$ が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲を動くとき、この群を「空間内の図形」とみなすとどのような形になりますか？

なんとなくのイメージ

積で閉じてるのは、行列計算すればできそう。

多様体としての形は、$S^1$になりそうな感じがするが、なんでそうなるかがわからなかったため、自分が納得できるまでのイメージを考える。
まず、2×2行列なので、4次元空間にあり、パラメーターが$\theta$のみのため、1次元の図形と思われる。
そして、
$x^2 + y^2 = 1$ （$(\cos\theta)^2 + (-\sin\theta)^2 = 1$ より）$z^2 + w^2 = 1$
$x = w$
$y = -z$
になってる。4次元だとあまり想像できないが、3次元で想像すると
$x^2 + y^2 = 1$
$x = z$
となるような図形を考えて、その交わる部分を考えれば丸ぽい形になってそうなので、詳細ではないが、$S^1$と言われても納得することにした。

二つの図形の共通部分

第2問：リー環（無限小変換）の導出リー群の単位元（単位行列 $I$）の周りでの「一瞬の動き」を調べます。

$3$次元の回転群 $SO(3)$ の要素 $R$ は、$R^T R = I$ を満たします。$R(t)$ を、時間 $t$ とともに変化する回転行列とし、$R(0) = I$ とします。$R(t)^T R(t) = I$ の両辺を $t$ で微分し、$t=0$ を代入してください。その結果、単位元での速度ベクトル $A = R'(0)$ （行列）が、「交代行列（反対称行列） $A^T = -A$」という条件を満たすことを導いてください。
解説: これがリー環 $\mathfrak{so}(3)$ の正体です。「回転」というリー群を微分すると、「交代行列」という計算しやすいベクトルの世界（リー環）が生まれることを意味します。

なんとなくのイメージ

回答自体は、普通に積の微分(行列でも成り立つかは別途確認が必要かも)で、
$(R^T R)'(0) = (R^T)'(0) R(0) + R^T(0) R'(0) = R'(0) ^T I + I^T R'(0) = A^T + A = 0$
なので、OKそう。
これって、多様体$SO(3)$の原点$I$にて、接ベクトル空間$T_I SO(3)$の元のベクトルが$R'$で、交換積を満たすから環になってるってことかな。面白いな〜。

第3問：指数写像（ミクロからマクロへ）リー環の要素（行列 $A$）から、リー群の要素（行列 $R$）を復元します。

次の交代行列 $A$ を考えます。$$A = \begin{pmatrix} 0 & -\theta \\ \theta & 0 \end{pmatrix}$$行列の指数関数は $e^A = I + A + \frac{1}{2!}A^2 + \frac{1}{3!}A^3 + \dots$ で定義されます。$A^2, A^3, A^4$ を計算し、規則性を見つけてください。$e^A$ を計算し、それが第1問の回転行列 $R(\theta)$ と一致することを確認してください。

(途中)

第4問：カルタンの定理の「ありがたみ」体験次の行列の集合 $G$ を考えます。

$$G = \{ \text{行列式が 1 の } n \times n \text{ 実正則行列 } \}$$$G$ の2つの要素の積、および逆行列が再び $G$ に含まれることを確認してください（群であることの確認）。行列式 $det(A) = 1$ という条件は、行列の成分に関する「連続な方程式」です。この条件を満たす行列の列が収束するとき、その極限もまた行列式 1 を保ちますか？カルタンの閉部分群の定理に基づき、この $G$（特殊線形群 $SL(n, \mathbb{R})$）がリー群であることを判定してください。