４５秒で理解する２変数関数の極値

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45秒で何ができる？

ヘッセ行列を理解する

ヘッセ行列$H$は多変数関数における第2次導関数(のようなもの)です。
2変数$f(x,y)$なら$H(x,y)= \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} \frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y) & \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}f(x,y)\\ \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}f(x,y) & \frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y) \end{array} \right) \end{eqnarray} $であり、2階偏導関数の集まりからなっていることからも妥当です。

１変数

極小：$f'=0$かつ$f''$が正
極大：$f'=0$かつ$f''$が負

多変数

極小：$f_{x_i}=0$かつ$H$が正定値
極大：$f_{x_i}=0$かつ$H$が負定値
※$f_{x_i}=0$は$n$変数関数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$の変数それぞれでの$f$の偏導関数がすべて$0$という意味
（２変数$f(x,y)$なら$f_x=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=0,\space f_y=\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=0$）

正定値・負定値ってなんぞや

実数成分の正方対称行列$H$が
「正定値である」$ \Longleftrightarrow H$の左上隅の小行列の行列式がすべて正
「負定値である」$ \Longleftrightarrow -H$が正定値

左上隅の小行列ってなんぞや

例$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $なら、$ \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} $と$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} $と$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$
つまり左上を成分に持つ正方行列を取れるだけ取る。（自分自身も含む）
この左上隅の小行列の、行列式がすべて正なら正定値
例では$1$、$1×5-2×4=-3 $、$1×5×9+2×6×7+3×8×4-3×5×7-2×4×9-1×8×6=0$
なので正定値ではない。(負定値でもない。)
※1×1の行列はただの実数と同じ。その行列式は等しくなる。

間違えやすいポイント

$H$の左上隅の小行列の行列式がすべて負$ \Longleftrightarrow $負定値
は間違いです。

誤）$ \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} $の左上隅の小行列は、$ \begin{pmatrix} -2 \end{pmatrix} $と$ \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} $
その行列式は$-2$、$(-2)×1-4×3=-14$ですべて負なので負定値。

正）$ -\begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$の左上隅の小行列を考えて

$ \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix} $と$ \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} $　その行列式は$2$、$2×(-1)-(-4)×(-3)=-14$
よって正定値でも負定値でもない。

例題　～1変数と2変数の比較～

１変数

$f(x)=x^4-6x^2+8x+5$の極値をすべて求めよ。

$f(x)$の極値をとる$x$の値の候補は
$$\frac{d}{dx}f(x)=0 \Longleftrightarrow (x-1)^2(x+2)=0$$
$ \therefore x=1,-2$
であり、
$$\frac{d^2}{dx^2}f(x)=12x^2-12=12(x^2-1)$$
$\therefore f''(1)=0$より$x=0$では極値をとらず、$f''(-2)=36>0$より$x=-2$で極小値をとる。
よって、$f(x)$は$x=-2$で極小値$f(-2)=-19$をとる。

2変数

$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$の極値をすべて求めよ。

$f(x,y)$の極値をとる$(x,y)$の値の候補は
$$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=0 \Longleftrightarrow 3x^2-3y=3y^2-3x=0$$
$ \therefore (x,y)=(0,0),(1,1)$
であり、
$$H(x,y)= \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} \frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y) & \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}f(x,y)\\ \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}f(x,y) & \frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y) \end{array} \right) \end{eqnarray} = \left( \begin{array}{cc} 6x & -3 \\ -3 & 6y \end{array} \right) $$
$\therefore H(0,0)= \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & -3 \\ -3 & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray} $は
$ det\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}=0 $、$ det\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & -3 \\ -3 & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}=9>0 $より正定値でも負定値でもないので$(0,0)$では極値をとらず、
$H(1,1)= \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 6 & -3 \\ -3 & 6 \end{array} \right) \end{eqnarray} $は
$ det\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 6 \end{array} \right) \end{eqnarray}=6>0 $、$ det\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 6 & -3 \\ -3 & 6 \end{array} \right) \end{eqnarray}=45>0 $より正定値であるので$(1,1)$では極小値をとる。
よって、$f(x,y)$は$(x,y)=(1,1)$で極小値$f(1,1)=-1$をとる。