表現行列の定義のお気持ち
本記事の目的
一般に定義される「表現行列」と，齋藤先生の線型代数入門による「基底間に関する線形写像の行列」との間に，ギャップがあるように思えたので，それを埋めてみました．
定義の確認
ベクトル空間$V, V'$について，その間の線形写像$T: V \rightarrow V'$を考える．
また，ここでは有限次元について考え，$\dim(V)=n,\; \dim(V')=m$とし，$V, V'$の基底をそれぞれ$E = \{\boldsymbol{e}_1 , \cdots, \boldsymbol{e}_n\},\; E' = \{\boldsymbol{e'}_1, \cdots, \boldsymbol{e'}_m\}$とおく．
線形写像を用いて，$T(\boldsymbol{u}_i)$は$E'$の線形結合で表すことができる．この事を用いて，表現行列が定義される．
$(m,n)$型行列$A$を用いて，$ \begin{bmatrix} T(\boldsymbol{e}_1), \cdots, T(\boldsymbol{e}_n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{e'}_1, \cdots, \boldsymbol{e'}_m \end{bmatrix} A$と表されるとき，行列$A$を基底$E$から$E'$に関する$T$の表現行列という．
また，次の補題を用いて「基底間に関する線型写像の行列」が定義できる．
$K$を$\mathbb{R}$または$\mathbb{C}$とする．
この時，$K^n$を$K$上列ベクトルの集合とすると，$V \simeq K^n$である．
$V$の基底$E = \{\boldsymbol{e}_1 , \cdots, \boldsymbol{e}_n\}$を用いて，
$$ \forall \boldsymbol{x} \in V, \exists x_i \in K\;(1 \leq i \leq n), \;s.t.\; \boldsymbol{x} = \sum_{i=1}^{n}x_i \boldsymbol{e_i}$$
と表すことができる．このとき，写像$\phi: V \rightarrow K^n$を
$$
\phi(\boldsymbol{x}) =
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}
$$
と定めると，$\phi$は同型写像となる．
この補題により，ベクトル空間$V$における基底を定めることで，それに対応する同型写像$\phi : V \rightarrow K^n$が決まる．特に，基底$E$を定めて得られる同型写像$\phi$との組を明示的に表すために，基底$E$を$(E; \phi)$とかくことにする．
ベクトル空間$V, V'$について，線形写像$T: V \rightarrow V'$を定める．また，$\dim(V)=n,\; \dim(V')=m$とする．$V, V'$の基底$(E; \phi),\; (E'; \phi')$を定めるとき，次の図式を考える．
$$
\begin{xy}
\xymatrix {
V \ar[r]^{T} \ar[d]^{\phi} & V' \ar[d]^{\phi'} \\
K^n \ar[r]_{\phi' \circ T \circ \phi^{-1}} & K^m
}
\end{xy}
$$
このとき，線形写像$\phi' \circ T \circ \phi^{-1}$は，ある$(m,n)$型行列$A$に対応し，$\phi' \circ T \circ \phi^{-1} = T_A$と書ける．この行列$A$を，基底$(E; \phi),\; (E'; \phi')$に関する$T$の行列という．この図式は，定義より明らかに可換図式である．
この定義間の関係性
上の節で定義したベクトル空間と基底を引き続き用いることにする．
基底$E$から$E'$に関する$T$の表現行列を$A$とし，基底$(E; \phi), \; (E; \phi')$に関する$T$の行列を$B$とする．このとき，
\begin{align}
\begin{bmatrix}
T(\boldsymbol{e}_1), \cdots, T(\boldsymbol{e}_n)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{e'}_1, \cdots, \boldsymbol{e'}_m
\end{bmatrix}
A
\end{align}
については，$\phi' : T(\boldsymbol{u}_i) \longmapsto \phi'(T(\boldsymbol{u}_i)) = B(\phi(\boldsymbol{u}_i)) \in K^m$に注意すれば，次の書き方と同値になる．
\begin{align}
B
\begin{bmatrix}
\phi(\boldsymbol{e}_1), \cdots, \phi(\boldsymbol{e}_n)
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
\phi'(\boldsymbol{e'}_1), \cdots, \phi'(\boldsymbol{e'}_m)
\end{bmatrix}
A \\
\end{align}
ここで，$ \begin{bmatrix}
\phi(\boldsymbol{e}_1), \cdots, \phi(\boldsymbol{e}_n)
\end{bmatrix} = I_{n \times n},\; \begin{bmatrix}
\phi'(\boldsymbol{e'}_1), \cdots, \phi'(\boldsymbol{e'}_m)
\end{bmatrix} = I_{m \times m}$の単位行列であるため，$A=B$が成り立つ．以上より，二つの定義は同値である．
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