射影的加群と移入的加群について

(2)の条件${}^\sharp f$の全射性から$P$が射影的加群であることが直ちに分かる．

自然な埋め込みを$i_\lambda:P_\lambda\to\bigoplus_{\lambda\in \Lambda}P_\lambda$と置く．
(1)$\Longrightarrow$(2)
任意の$R$加群の全射準同型写像$f:M\to N$と任意の$R$加群の準同型写像$g:\bigoplus_{\lambda\in \Lambda}P_\lambda\to N$を取る．自然な埋め込み$i_\lambda$からある準同型写像$h_\lambda:P_\lambda\to M$で$f\circ h_\lambda= g\circ i_\lambda$を満たすものが存在する．直和の普遍性から$h:\bigoplus_{\lambda\in \Lambda}P_\lambda\to M$で$h\circ i_\lambda=h_\lambda$を満たすものが存在する．このとき，$(f\circ h)\circ i_\lambda=f\circ h_\lambda=g\circ i_\lambda$なので，直和の普遍性の一意性から$f\circ h=g$となり，$ \bigoplus_{\lambda\in \Lambda} P_\lambda$が射影的加群であることが分かった．
(2)$\Longrightarrow$(1)
任意の$\mu\in \Lambda $を一つ固定する．任意の$R$加群の全射準同型写像$f:M\to N$と任意の$R$加群の準同型写像$g:P_\mu\to N$を取る．直和の普遍性から$\tilde{ g }:\bigoplus_{\lambda\in \Lambda}P_\lambda\to N$が存在して$\tilde{ g }\circ i_\mu=g$，任意の$\lambda\in\Lambda\setminus\{\mu\} $で$\tilde{ g }\circ i_\lambda=0$を満たすように取れる．仮定からある$\tilde{ h }:\bigoplus_{\lambda\in \Lambda} P_\lambda\to M$で$f\circ \tilde{ h }=\tilde{ g }$を満たすものが存在する．$f\circ(\tilde{ h }\circ i_\mu)=\tilde{ g }\circ i_\mu=g$なので，$h=\tilde{ h }\circ i_\mu$と置くと$f\circ h=g $ゆえ$P_\lambda$は射影的加群．

任意の$R$加群の全射準同型写像$f:M\to N$と任意の$R$加群の準同型写像$g:R\to N$を取る．このとき，$x\in M$で$f(x)=g(1)$を満たすものが存在する．準同型写像$h:R\to M;a\mapsto ax$とおくと，$f(h(a))=f(ax)=af(x)=ag(1)=g(a)$なので，$R$は射影的加群である．

命題2と補題3から$R^{\oplus M}$は射影的加群である．

補題4から$R^{\oplus M}$は射影的加群．そこで$f:R^{\oplus M}\to M;(a_x)_x\mapsto \sum_{x\in M} a_xx$とおくとこれは全射準同型写像．

(2)の条件${}^\sharp f$の全射性から$I$が移入的加群であることが直ちに分かる．

任意の$x\in I$と任意の$R$の非零因子$a$を取る．$f:R\to R;b\mapsto ab$は単射な$R$加群の準同型写像である．$g:R\to I;b\mapsto bx$なる準同型写像とすると，$I$が移入的加群であることから，$R$加群の準同型写像$h:N\to I$が存在して，$h\circ f=g$を満たす．
すると，$x=g(1)=h(f(1))=h(a)=ah(1)$となり$I$が可除加群であることがわかる．

もしそのような$h,h':M_3\to N$が存在するなら，任意の$x\in M_3$に対して$\beta$の全射性からある$y\in M_2$が存在して，$x=\beta(y)$となる．なので，$h(x)=h(\beta(y))=h'(\beta(y))=h'(x)$となり，一意性が言える．
次に存在性について．任意の$x\in M_3$に対して$x=\beta(y)$となる$y\in M_2$をとり，$h(x):=g(y)$と置く．これは$y$の取り方によらず定まる．なぜなら，そのような$y,y'\in M_2$を取るとき，$y-y'\in \ker\beta=\Im\alpha$なのである$a\in M_1$が存在して，$y-y'=\alpha(a)$となる．ゆえに$0=g(\alpha(a))=g(y-y')=g(y)-g(y')$より$y$の取り方によらない．作り方から明らかに$g=h\circ \beta$を満たす．

任意に$R$加群の単射準同型写像$f:M\to N$と$R$加群の準同型写像$g:M\to I$が与えられているとする．以下$f$を通じて$M$を$N$の部分加群とみなす．
$\mathcal{S}:=\{(N',h':N'\to I)\mid M\subset N'なるNの部分加群,h'は準同型写像でh'|_M=gを満たす\}$
と置く．$(M,g)\in\mathcal{S}$なので，$\mathcal{S}\not= \varnothing $．$(N',h'),(N'',h'')\in\mathcal{S}$に対し，$N'\subset N''$かつ$h''|_{N'}=h'$のとき，$(N',h') \leq (N'',h'')$と定め，$\mathcal{S}$上に半順序$\leq$を定める．$\mathcal{S}'=\{(N'_\lambda,h'_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}$を$ \mathcal{S}$の全順序部分集合とする．$L:= \bigcup_{\lambda\in\Lambda}N'_\lambda$とし，$ \phi :L\to I$を$x\in N'_{\lambda'}$のとき，$\phi(x):=h'_{\lambda'}(x)$として定めるとwell-definedな準同型写像なので，$\mathcal{S}'$は$\mathcal{S}$に上界$(L,\phi)$をもつ．なので，Zornの補題から$\mathcal{S}$は極大元$(N_0,h_0)$が存在する．$N=N_0$が言えればよい．
$N_0 \subsetneq N$と仮定する．$x\in N\setminus N_0$を取り，$N_1=N_0+(x)$と置く．$J=\{a\in R\mid ax\in N_0\}$はイデアルなので，$R$が単項イデアル整域から，$J=(b)$，$b\in R$と書ける．$b$は$0$か非零因子であることに注意する．$I$は可除加群なので$ by=h_0(bx)$なる$y\in I$が存在する．$\alpha:R\to N_0 \oplus R;a\mapsto (-abx,ab)$，$\beta:N_0 \oplus R\to N_1;(n,a)\mapsto n+ax$とおくと，$\beta$は全射で$\beta \circ\alpha=0$．また，$(n,a)\in\ker\beta$のとき$ a\in J=(b)$なので$a=ba'$と書けて，$\alpha(a')=(-a'bx,a'b)=(n,a)$.よって$\ker\beta\subset\Im\alpha$．つまり$ R\xrightarrow[]{ \alpha } N_0 \oplus R\xrightarrow[]{ \beta } N_1\to 0$は完全列である．
$I$は可除加群なので$ by=h_0(bx)$なる$y\in I$が存在する．この$y$に対して準同型写像を$ \tilde{ h }_1 :N_0 \oplus R\to I;(n,a)\mapsto h_0(n)+ay$と定める．任意の$a\in R$に対して
$\tilde{ h }_1(\alpha(a))=\tilde{ h }_1((-abx,ab))=h_0(-abx)+aby=-ah_0(bx)+aby=-ah_0(bx)+ah_0(bx)=0$
すなわち$\tilde{ h }_1\circ \alpha=0$．よって補題8から準同型写像$h_1:N_1\to I$で$\tilde{ h }_1=h_1\circ \beta$を満たすものが存在する．
任意の$n\in N_0$に対し，$h_1(n)=h_1(\beta((n,0)))=\tilde{ h }_1((n,0))=h_0(n)$となるので，$(N_1,h_1)\in\mathcal{S}$で，$(N_0,h_0) \leq (N_1,h_1)$となるがこれは$(N_0,h_0)$の極大性に反する．ゆえに$N_0=N$より題意が示された．

$ \mathbb{Z}$は単項イデアル整域で，$\mathbb{Q}/\mathbb{Z} $は可除加群より移入的加群である．

任意に$R$加群の単射準同型写像$f:M\to N$と$R$加群の準同型写像$g:M\to \Hom_{\mathbb{Z}}(P,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$を取る．定理6と補題10から全射な準同型写像${}^\sharp f :\Hom_R(N,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\to \Hom_R(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$が誘導される．$R$加群の準同型写像$g':P\to\Hom_R(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$を$g'(m)(x):=g(x)(m)$，$x\in P,m\in M$と定める．$P$は射影的加群なので，ある準同型写像$h':P\to \Hom_R(N,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$で$ {}^\sharp f\circ h'=g'$となるものが存在する．ここで，$R$加群の準同型写像$h:N\to\Hom_{\mathbb{Z}}(P,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $を$h(n)(x):=h'(x)(n)$，$x\in P,n\in N$と定めると，任意の$x\in P,m\in M$に対して
$h(f(m))(x)=h'(x)(f(m))=({}^\sharp f\circ h')(x)(m)=g'(x)(m)=g(m)(x)$
となるため$h\circ f=g$ゆえ$\Hom_{\mathbb{Z}}(P,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$が移入的加群であることが示された．

$\Phi$が準同型写像であることは直ぐにわかる．$0$でない任意の$m\in M$を取る．$\mathbb{Z}$が単項イデアル整域であることに注意すると準同型写像$f:\mathbb{Z}\to M;a\mapsto am$の核$\ker f$は$b\mathbb{Z}$，$b\in \mathbb{N}$と書ける．$0\not= m$から$b=0$または$b \geq 2$である．
$i:\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$を$b=0$のとき，$i(n+b\mathbb{Z})= \frac{n}{2} +\mathbb{Z}$，$b \geq 2$のとき，$i(n+b\mathbb{Z})= \frac{n}{b} +\mathbb{Z}$とする．合成$\Im f\xrightarrow[]{ \cong }\mathbb{Z}/\ker f\xrightarrow[]{ = }\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}\xrightarrow[]{i}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$を$g:\Im f\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ とおき，包含写像$\Im f\to M$を考えると補題10から$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$が移入的加群ゆえ，$h:M\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$で$h|_{\Im f}=g$なる準同型写像が存在する．すると$h(m)=g(m)=i(1+b\mathbb{Z})\not=0$なので，$\Phi(m)(h)=h(m)\not=0$．よって$\Phi(m)\not=0$となり，単射性が言えた．

定理5からある射影的加群$P$から$\Hom_{\mathbb{Z}}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$への全射準同型写像$f:P\to\Hom_{\mathbb{Z}}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$が存在する．なので，${}^\sharp f:\Hom_{\mathbb{Z}}(\Hom_{\mathbb{Z}}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\to \Hom_{\mathbb{Z}}(P,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$は単射準同型写像．補題12の$\Phi$と合成することで単射$M\to \Hom_{\mathbb{Z}}(P,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$が作れ，補題11から$\Hom_{\mathbb{Z}}(P,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$は移入的加群であるので題意が示された．

定理13から$I_0$は移入的加群で$f:M\to I_0$が単項準同型写像とできる．$\Coker f$に対して定理13を適用すると$\Coker f$からある移入的加群$I_1$への単項準同型写像が取れる．これを自然な射影$I_0\to\Coker f$と合成すれば$M\to I_0\to I_1$は完全列である．これを繰り返すと$M$の移入的分解$0\to M\to I_0\to I_1\to\cdots$を得る．