射影的加群と移入的加群について

(2)の条件${}^{\mathrm{♯}}f$の全射性から$P$が射影的加群であることが直ちに分かる．

自然な埋め込みを$i_{\lambda }:P_{\lambda }\to \underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{⨁}{P}_{\lambda }$と置く．
(1)$⟹$(2)
任意の$R$加群の全射準同型写像$f:M\to N$と任意の$R$加群の準同型写像$g:\underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{⨁}{P}_{\lambda }\to N$を取る．自然な埋め込み$i_{\lambda }$からある準同型写像$h_{\lambda }:P_{\lambda }\to M$で$f\circ h_{\lambda }=g\circ i_{\lambda }$を満たすものが存在する．直和の普遍性から$h:\underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{⨁}{P}_{\lambda }\to M$で$h\circ i_{\lambda }=h_{\lambda }$を満たすものが存在する．このとき，$(f\circ h)\circ i_{\lambda }=f\circ h_{\lambda }=g\circ i_{\lambda }$なので，直和の普遍性の一意性から$f\circ h=g$となり，$\underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{⨁}{P}_{\lambda }$が射影的加群であることが分かった．
(2)$⟹$(1)
任意の$\mu \in \mathrm{\Lambda }$を一つ固定する．任意の$R$加群の全射準同型写像$f:M\to N$と任意の$R$加群の準同型写像$g:P_{\mu }\to N$を取る．直和の普遍性から$\tilde{g}:\underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{⨁}{P}_{\lambda }\to N$が存在して$\tilde{g}\circ i_{\mu }=g$，任意の$\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus \{\mu \}$で$\tilde{g}\circ i_{\lambda }=0$を満たすように取れる．仮定からある$\tilde{h}:\underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{⨁}{P}_{\lambda }\to M$で$f\circ \tilde{h}=\tilde{g}$を満たすものが存在する．$f\circ (\tilde{h}\circ i_{\mu })=\tilde{g}\circ i_{\mu }=g$なので，$h=\tilde{h}\circ i_{\mu }$と置くと$f\circ h=g$ゆえ$P_{\lambda }$は射影的加群．

任意の$R$加群の全射準同型写像$f:M\to N$と任意の$R$加群の準同型写像$g:R\to N$を取る．このとき，$x\in M$で$f(x)=g(1)$を満たすものが存在する．準同型写像$h:R\to M;a\mapsto ax$とおくと，$f(h(a))=f(ax)=af(x)=ag(1)=g(a)$なので，$R$は射影的加群である．

命題2と補題3から$R^{\oplus M}$は射影的加群である．

補題4から$R^{\oplus M}$は射影的加群．そこで$f:R^{\oplus M}\to M;(a_x{)}_x\mapsto \sum _{x\in M}{a}_{x}x$とおくとこれは全射準同型写像．

(2)の条件${}^{\mathrm{♯}}f$の全射性から$I$が移入的加群であることが直ちに分かる．

任意の$x\in I$と任意の$R$の非零因子$a$を取る．$f:R\to R;b\mapsto ab$は単射な$R$加群の準同型写像である．$g:R\to I;b\mapsto bx$なる準同型写像とすると，$I$が移入的加群であることから，$R$加群の準同型写像$h:N\to I$が存在して，$h\circ f=g$を満たす．
すると，$x=g(1)=h(f(1))=h(a)=ah(1)$となり$I$が可除加群であることがわかる．

もしそのような$h,h^{\prime }:M_3\to N$が存在するなら，任意の$x\in M_3$に対して$\beta$の全射性からある$y\in M_2$が存在して，$x=\beta (y)$となる．なので，$h(x)=h(\beta (y))=h^{\prime }(\beta (y))=h^{\prime }(x)$となり，一意性が言える．
次に存在性について．任意の$x\in M_3$に対して$x=\beta (y)$となる$y\in M_2$をとり，$h(x):=g(y)$と置く．これは$y$の取り方によらず定まる．なぜなら，そのような$y,y^{\prime }\in M_2$を取るとき，$y-y^{\prime }\in \ker \beta =\mathrm{Im}\alpha$なのである$a\in M_1$が存在して，$y-y^{\prime }=\alpha (a)$となる．ゆえに$0=g(\alpha (a))=g(y-y^{\prime })=g(y)-g(y^{\prime })$より$y$の取り方によらない．作り方から明らかに$g=h\circ \beta$を満たす．

任意に$R$加群の単射準同型写像$f:M\to N$と$R$加群の準同型写像$g:M\to I$が与えられているとする．以下$f$を通じて$M$を$N$の部分加群とみなす．
$\mathcal{S}:=\{(N^{\prime },h^{\prime }:N^{\prime }\to I)\mid M\subset N^{\prime }なるNの部分加群,h^{\prime }は準同型写像でh^{\prime }{|}_M=gを満たす\}$
と置く．$(M,g)\in \mathcal{S}$なので，$\mathcal{S}\ne \varnothing$．$(N^{\prime },h^{\prime }),(N^{″},h^{″})\in \mathcal{S}$に対し，$N^{\prime }\subset N^{″}$かつ$h^{″}{|}_{N^{\prime }}=h^{\prime }$のとき，$(N^{\prime },h^{\prime })\le (N^{″},h^{″})$と定め，$\mathcal{S}$上に半順序$\le$を定める．${\mathcal{S}}^{\prime }=\{(N_{\lambda }^{\prime },h_{\lambda }^{\prime }){\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$を$\mathcal{S}$の全順序部分集合とする．$L:=\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{N}_{\lambda }^{\prime }$とし，$\varphi :L\to I$を$x\in N_{{\lambda }^{\prime }}^{\prime }$のとき，$\varphi (x):=h_{{\lambda }^{\prime }}^{\prime }(x)$として定めるとwell-definedな準同型写像なので，${\mathcal{S}}^{\prime }$は$\mathcal{S}$に上界$(L,\varphi )$をもつ．なので，Zornの補題から$\mathcal{S}$は極大元$(N_0,h_0)$が存在する．$N=N_0$が言えればよい．
$N_0⊊N$と仮定する．$x\in N\setminus N_0$を取り，$N_1=N_0+(x)$と置く．$J=\{a\in R\mid ax\in N_0\}$はイデアルなので，$R$が単項イデアル整域から，$J=(b)$，$b\in R$と書ける．$b$は$0$か非零因子であることに注意する．$I$は可除加群なので$by=h_0(bx)$なる$y\in I$が存在する．$\alpha :R\to N_0\oplus R;a\mapsto (-abx,ab)$，$\beta :N_0\oplus R\to N_1;(n,a)\mapsto n+ax$とおくと，$\beta$は全射で$\beta \circ \alpha =0$．また，$(n,a)\in \ker \beta$のとき$a\in J=(b)$なので$a=b{a}^{\prime }$と書けて，$\alpha (a^{\prime })=(-a^{\prime }bx,a^{\prime }b)=(n,a)$.よって$\ker \beta \subset \mathrm{Im}\alpha$．つまり$R\stackrel{\alpha }{\to }{N}_0\oplus R\stackrel{\beta }{\to }{N}_1\to 0$は完全列である．
$I$は可除加群なので$by=h_0(bx)$なる$y\in I$が存在する．この$y$に対して準同型写像を${\tilde{h}}_1:N_0\oplus R\to I;(n,a)\mapsto h_0(n)+ay$と定める．任意の$a\in R$に対して
${\tilde{h}}_1(\alpha (a))={\tilde{h}}_1((-abx,ab))=h_0(-abx)+aby=-a{h}_0(bx)+aby=-a{h}_0(bx)+a{h}_0(bx)=0$
すなわち${\tilde{h}}_1\circ \alpha =0$．よって補題8から準同型写像$h_1:N_1\to I$で${\tilde{h}}_1=h_1\circ \beta$を満たすものが存在する．
任意の$n\in N_0$に対し，$h_1(n)=h_1(\beta ((n,0)))={\tilde{h}}_1((n,0))=h_0(n)$となるので，$(N_1,h_1)\in \mathcal{S}$で，$(N_0,h_0)\le (N_1,h_1)$となるがこれは$(N_0,h_0)$の極大性に反する．ゆえに$N_0=N$より題意が示された．

$\mathbb{Z}$は単項イデアル整域で，$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$は可除加群より移入的加群である．

任意に$R$加群の単射準同型写像$f:M\to N$と$R$加群の準同型写像$g:M\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(P,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$を取る．定理6と補題10から全射な準同型写像${}^{\mathrm{♯}}f:{\mathrm{Hom}}_R(N,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\to {\mathrm{Hom}}_R(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$が誘導される．$R$加群の準同型写像$g^{\prime }:P\to {\mathrm{Hom}}_R(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$を$g^{\prime }(m)(x):=g(x)(m)$，$x\in P,m\in M$と定める．$P$は射影的加群なので，ある準同型写像$h^{\prime }:P\to {\mathrm{Hom}}_R(N,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$で${}^{\mathrm{♯}}f\circ h^{\prime }=g^{\prime }$となるものが存在する．ここで，$R$加群の準同型写像$h:N\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(P,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$を$h(n)(x):=h^{\prime }(x)(n)$，$x\in P,n\in N$と定めると，任意の$x\in P,m\in M$に対して
$h(f(m))(x)=h^{\prime }(x)(f(m))=({}^{\mathrm{♯}}f\circ h^{\prime })(x)(m)=g^{\prime }(x)(m)=g(m)(x)$
となるため$h\circ f=g$ゆえ${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(P,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$が移入的加群であることが示された．

$\mathrm{\Phi }$が準同型写像であることは直ぐにわかる．$0$でない任意の$m\in M$を取る．$\mathbb{Z}$が単項イデアル整域であることに注意すると準同型写像$f:\mathbb{Z}\to M;a\mapsto am$の核$\ker f$は$b\mathbb{Z}$，$b\in \mathbb{N}$と書ける．$0\ne m$から$b=0$または$b\ge 2$である．
$i:\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$を$b=0$のとき，$i(n+b\mathbb{Z})=\frac{n}{2}+\mathbb{Z}$，$b\ge 2$のとき，$i(n+b\mathbb{Z})=\frac{n}{b}+\mathbb{Z}$とする．合成$\mathrm{Im}f\stackrel{\cong }{\to }\mathbb{Z}/\ker f\stackrel{=}{\to }\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}\stackrel{i}{\to }\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$を$g:\mathrm{Im}f\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ とおき，包含写像$\mathrm{Im}f\to M$を考えると補題10から$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$が移入的加群ゆえ，$h:M\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$で$h{|}_{\mathrm{Im}f}=g$なる準同型写像が存在する．すると$h(m)=g(m)=i(1+b\mathbb{Z})\ne 0$なので，$\mathrm{\Phi }(m)(h)=h(m)\ne 0$．よって$\mathrm{\Phi }(m)\ne 0$となり，単射性が言えた．

定理5からある射影的加群$P$から${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$への全射準同型写像$f:P\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$が存在する．なので，${}^{\mathrm{♯}}f:{\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}({\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(P,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$は単射準同型写像．補題12の$\mathrm{\Phi }$と合成することで単射$M\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(P,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$が作れ，補題11から${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(P,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$は移入的加群であるので題意が示された．

定理13から$I_0$は移入的加群で$f:M\to I_0$が単項準同型写像とできる．$\mathrm{Coker}f$に対して定理13を適用すると$\mathrm{Coker}f$からある移入的加群$I_1$への単項準同型写像が取れる．これを自然な射影$I_0\to \mathrm{Coker}f$と合成すれば$M\to I_0\to I_1$は完全列である．これを繰り返すと$M$の移入的分解$0\to M\to I_0\to I_1\to \cdots$を得る．